Theorem 0ex 4103

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 4102. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0ex	⊢ ∅ ∈ V

Proof of Theorem 0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 4102	. . 3 ⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥
2		eq0 3422	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
3	2	exbii 1592	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
4	1, 3	mpbir 145	. 2 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = ∅
5	4	issetri 2730	1 ⊢ ∅ ∈ V

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1340   = wceq 1342  ∃wex 1479   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721  ∅c0 3404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-nul 4102

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-dif 3113  df-nul 3405

This theorem is referenced by:  0elpw  4137  0nep0  4138  iin0r  4142  intv  4143  snexprc  4159  p0ex  4161  undifexmid  4166  exmidexmid  4169  ss1o0el1  4170  exmidsssn  4175  exmidel  4178  exmidundif  4179  exmidundifim  4180  0elon  4364  onm  4373  ordtriexmidlem2  4491  ordtriexmid  4492  ontriexmidim  4493  ordtri2orexmid  4494  ontr2exmid  4496  onsucsssucexmid  4498  onsucelsucexmidlem1  4499  onsucelsucexmid  4501  regexmidlem1  4504  reg2exmidlema  4505  ordsoexmid  4533  0elsucexmid  4536  ordpwsucexmid  4541  ordtri2or2exmid  4542  ontri2orexmidim  4543  dcextest  4552  peano1  4565  finds  4571  finds2  4572  0elnn  4590  opthprc  4649  nfunv  5215  fun0  5240  acexmidlema  5827  acexmidlemb  5828  acexmidlemab  5830  ovprc  5868  1st0  6104  2nd0  6105  brtpos0  6211  reldmtpos  6212  tfr0dm  6281  rdg0  6346  frec0g  6356  1n0  6391  el1o  6396  0lt2o  6400  fnom  6409  omexg  6410  om0  6417  nnsucsssuc  6451  mapdm0  6620  map0e  6643  0elixp  6686  en0  6752  ensn1  6753  en1  6756  2dom  6762  map1  6769  xp1en  6780  endisj  6781  dom0  6795  php5dom  6820  ssfilem  6832  ssfiexmid  6833  domfiexmid  6835  diffitest  6844  ac6sfi  6855  exmidpw  6865  unfiexmid  6874  fi0  6931  djuexb  7000  djulclr  7005  djulcl  7007  djulclb  7011  djulf1or  7012  djulf1o  7014  inl11  7021  djuss  7026  1stinl  7030  2ndinl  7031  0ct  7063  finomni  7095  exmidomni  7097  exmidonfinlem  7140  exmidfodomrlemr  7149  exmidfodomrlemrALT  7150  exmidaclem  7155  dju0en  7161  djucomen  7163  djuassen  7164  xpdjuen  7165  pw1dom2  7174  pw1ne1  7176  indpi  7274  frecfzennn  10351  fihashen1  10701  hashunlem  10706  zfz1iso  10740  ennnfonelemj0  12271  ennnfonelem0  12275  ennnfonelemhom  12285  strsl0  12379  topgele  12568  en1top  12618  sn0topon  12629  sn0cld  12678  rest0  12720  restsn  12721  0met  12925  djulclALT  13517  fmelpw1o  13523  bj-charfun  13524  bj-d0clsepcl  13642  bj-indint  13648  bj-bdfindis  13664  bj-inf2vnlem1  13687  pwle2  13712  exmid1stab  13714  pw1nct  13717  0nninf  13718  nninfsellemdc  13724