Theorem 0ex 4055

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 4054. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0ex	⊢ ∅ ∈ V

Proof of Theorem 0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 4054	. . 3 ⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥
2		eq0 3381	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
3	2	exbii 1584	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
4	1, 3	mpbir 145	. 2 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = ∅
5	4	issetri 2695	1 ⊢ ∅ ∈ V

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1329   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  ∅c0 3363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-nul 3364

This theorem is referenced by:  0elpw  4088  0nep0  4089  iin0r  4093  intv  4094  snexprc  4110  p0ex  4112  undifexmid  4117  exmidexmid  4120  exmid01  4121  exmidsssn  4125  exmidel  4128  exmidundif  4129  exmidundifim  4130  0elon  4314  onm  4323  ordtriexmidlem2  4436  ordtriexmid  4437  ordtri2orexmid  4438  ontr2exmid  4440  onsucsssucexmid  4442  onsucelsucexmidlem1  4443  onsucelsucexmid  4445  regexmidlem1  4448  reg2exmidlema  4449  ordsoexmid  4477  0elsucexmid  4480  ordpwsucexmid  4485  ordtri2or2exmid  4486  dcextest  4495  peano1  4508  finds  4514  finds2  4515  0elnn  4532  opthprc  4590  nfunv  5156  fun0  5181  acexmidlema  5765  acexmidlemb  5766  acexmidlemab  5768  ovprc  5806  1st0  6042  2nd0  6043  brtpos0  6149  reldmtpos  6150  tfr0dm  6219  rdg0  6284  frec0g  6294  1n0  6329  el1o  6334  0lt2o  6338  fnom  6346  omexg  6347  om0  6354  nnsucsssuc  6388  mapdm0  6557  map0e  6580  0elixp  6623  en0  6689  ensn1  6690  en1  6693  2dom  6699  map1  6706  xp1en  6717  endisj  6718  dom0  6732  php5dom  6757  ssfilem  6769  ssfiexmid  6770  domfiexmid  6772  diffitest  6781  ac6sfi  6792  exmidpw  6802  unfiexmid  6806  fi0  6863  djuexb  6929  djulclr  6934  djulcl  6936  djulclb  6940  djulf1or  6941  djulf1o  6943  inl11  6950  djuss  6955  1stinl  6959  2ndinl  6960  0ct  6992  finomni  7012  exmidomni  7014  exmidonfinlem  7049  exmidfodomrlemr  7058  exmidfodomrlemrALT  7059  exmidaclem  7064  dju0en  7070  djucomen  7072  djuassen  7073  xpdjuen  7074  indpi  7150  frecfzennn  10199  fihashen1  10545  hashunlem  10550  zfz1iso  10584  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelem0  11918  ennnfonelemhom  11928  strsl0  12007  topgele  12196  en1top  12246  sn0topon  12257  sn0cld  12306  rest0  12348  restsn  12349  0met  12553  djulclALT  13008  bj-d0clsepcl  13123  bj-indint  13129  bj-bdfindis  13145  bj-inf2vnlem1  13168  pw1dom2  13190  pwle2  13193  exmid1stab  13195  0nninf  13197  nninfsellemdc  13206