Theorem pw1on 7182

Description: The power set of 1_o is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1on	⊢ 𝒫 1o ∈ On

Proof of Theorem pw1on

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6397	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
2		elsni 3594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
3		0elpw 4143	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 1o
4	2, 3	eqeltrdi 2257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ 𝒫 1o)
5	4	ssriv 3146	. . . . . 6 ⊢ {∅} ⊆ 𝒫 1o
6	1, 5	eqsstri 3174	. . . . 5 ⊢ 1o ⊆ 𝒫 1o
7		sspwb 4194	. . . . 5 ⊢ (1o ⊆ 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ⊆ 𝒫 𝒫 1o)
8	6, 7	mpbi 144	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ⊆ 𝒫 𝒫 1o
9		dftr4 4085	. . . 4 ⊢ (Tr 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ⊆ 𝒫 𝒫 1o)
10	8, 9	mpbir 145	. . 3 ⊢ Tr 𝒫 1o
11		elpwi 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 1o → 𝑥 ⊆ 1o)
12	11	sselda 3142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 1o ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 1o)
13		el1o 6405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
14	12, 13	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 1o ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 = ∅)
15		0ss 3447	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
16	14, 15	eqsstrdi 3194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 1o ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
17	16	ralrimiva 2539	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 1o → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝑥)
18		dftr3 4084	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝑥)
19	17, 18	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 1o → Tr 𝑥)
20	19	rgen 2519	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 1oTr 𝑥
21		dford3 4345	. . 3 ⊢ (Ord 𝒫 1o ↔ (Tr 𝒫 1o ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 1oTr 𝑥))
22	10, 20, 21	mpbir2an 932	. 2 ⊢ Ord 𝒫 1o
23		1oex 6392	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
24	23	pwex 4162	. 2 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
25		elon2 4354	. 2 ⊢ (𝒫 1o ∈ On ↔ (Ord 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ∈ V))
26	22, 24, 25	mpbir2an 932	1 ⊢ 𝒫 1o ∈ On

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  𝒫 cpw 3559  {csn 3576  Tr wtr 4080  Ord word 4340  Oncon0 4341  1_oc1o 6377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384

This theorem is referenced by:  pw1ne1  7185  sucpw1nss3  7191  onntri35  7193  onntri45  7197