Theorem bdeq0 15917

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the empty class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeq0	⊢ BOUNDED 𝑥 = ∅

Proof of Theorem bdeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcnul 15915	. . 3 ⊢ BOUNDED ∅
2	1	bdss 15914	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑥 ⊆ ∅
3		0ss 3501	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
4		eqss 3210	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝑥))
5	3, 4	mpbiran2 944	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ 𝑥 ⊆ ∅)
6	2, 5	bd0r 15875	1 ⊢ BOUNDED 𝑥 = ∅

Syntax hints:   = wceq 1373   ⊆ wss 3168  ∅c0 3462  BOUNDED wbd 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-bd0 15863  ax-bdim 15864  ax-bdn 15867  ax-bdal 15868  ax-bdeq 15870

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-v 2775  df-dif 3170  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-bdc 15891

This theorem is referenced by:  bj-bd0el  15918  bj-nn0suc0  16000