Theorem bdeq0 16563

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the empty class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeq0	⊢ BOUNDED 𝑥 = ∅

Proof of Theorem bdeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcnul 16561	. . 3 ⊢ BOUNDED ∅
2	1	bdss 16560	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑥 ⊆ ∅
3		0ss 3535	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
4		eqss 3243	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝑥))
5	3, 4	mpbiran2 950	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ 𝑥 ⊆ ∅)
6	2, 5	bd0r 16521	1 ⊢ BOUNDED 𝑥 = ∅

Syntax hints:   = wceq 1398   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  BOUNDED wbd 16508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-bd0 16509  ax-bdim 16510  ax-bdn 16513  ax-bdal 16514  ax-bdeq 16516

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-bdc 16537

This theorem is referenced by:  bj-bd0el  16564  bj-nn0suc0  16646