Theorem eqss 3239

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem eqss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1533	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
2		dfcleq 2223	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		ssalel 3212	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ssalel 3212	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
5	3, 4	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	1, 2, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  eqssi  3240  eqssd  3241  sseq1  3247  sseq2  3248  eqimss  3278  ssrabeq  3311  uneqin  3455  ss0b  3531  vss  3539  sssnm  3832  unidif  3920  ssunieq  3921  iuneq1  3978  iuneq2  3981  iunxdif2  4014  ssext  4307  pweqb  4309  eqopab2b  4368  pwunim  4377  soeq2  4407  iunpw  4571  ordunisuc2r  4606  tfi  4674  eqrel  4808  eqrelrel  4820  coeq1  4879  coeq2  4880  cnveq  4896  dmeq  4923  relssres  5043  xp11m  5167  xpcanm  5168  xpcan2m  5169  ssrnres  5171  fnres  5440  eqfnfv3  5736  fneqeql2  5746  fconst4m  5863  f1imaeq  5905  eqoprab2b  6068  fo1stresm  6313  fo2ndresm  6314  nnacan  6666  nnmcan  6673  ixpeq2  6867  sbthlemi3  7134  wrdeq  11101  isprm2  12647  lssle0  14344  bastop1  14765  epttop  14772  opnneiid  14846  cnntr  14907  metequiv  15177  bj-sseq  16180  bdeq0  16254  bdvsn  16261  bdop  16262  bdeqsuc  16268  bj-om  16324