ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqss GIF version

Theorem eqss 3038
Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eqss (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem eqss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 albiim 1421 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐴)))
2 dfcleq 2082 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
3 dfss2 3012 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
4 dfss2 3012 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐴))
53, 4anbi12i 448 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐴)))
61, 2, 53bitr4i 210 1 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287   = wceq 1289  wcel 1438  wss 2997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-11 1442  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-in 3003  df-ss 3010
This theorem is referenced by:  eqssi  3039  eqssd  3040  sseq1  3045  sseq2  3046  eqimss  3076  ssrabeq  3105  uneqin  3248  ss0b  3319  vss  3327  sssnm  3593  unidif  3680  ssunieq  3681  iuneq1  3738  iuneq2  3741  iunxdif2  3773  ssext  4039  pweqb  4041  eqopab2b  4097  pwunim  4104  soeq2  4134  iunpw  4292  ordunisuc2r  4321  tfi  4387  eqrel  4515  eqrelrel  4527  coeq1  4581  coeq2  4582  cnveq  4598  dmeq  4624  relssres  4737  xp11m  4856  xpcanm  4857  xpcan2m  4858  ssrnres  4860  fnres  5116  eqfnfv3  5383  fneqeql2  5392  fconst4m  5499  f1imaeq  5536  eqoprab2b  5689  fo1stresm  5914  fo2ndresm  5915  nnacan  6251  nnmcan  6258  sbthlemi3  6647  isprm2  11192  bj-sseq  11349  bdeq0  11415  bdvsn  11422  bdop  11423  bdeqsuc  11429  bj-om  11489
  Copyright terms: Public domain W3C validator