Theorem eqss 3157

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem eqss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1475	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
2		dfcleq 2159	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		dfss2 3131	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		dfss2 3131	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
5	3, 4	anbi12i 456	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	1, 2, 5	3bitr4i 211	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1341   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  eqssi  3158  eqssd  3159  sseq1  3165  sseq2  3166  eqimss  3196  ssrabeq  3229  uneqin  3373  ss0b  3448  vss  3456  sssnm  3734  unidif  3821  ssunieq  3822  iuneq1  3879  iuneq2  3882  iunxdif2  3914  ssext  4199  pweqb  4201  eqopab2b  4257  pwunim  4264  soeq2  4294  iunpw  4458  ordunisuc2r  4491  tfi  4559  eqrel  4693  eqrelrel  4705  coeq1  4761  coeq2  4762  cnveq  4778  dmeq  4804  relssres  4922  xp11m  5042  xpcanm  5043  xpcan2m  5044  ssrnres  5046  fnres  5304  eqfnfv3  5585  fneqeql2  5594  fconst4m  5705  f1imaeq  5743  eqoprab2b  5900  fo1stresm  6129  fo2ndresm  6130  nnacan  6480  nnmcan  6487  ixpeq2  6678  sbthlemi3  6924  isprm2  12049  bastop1  12723  epttop  12730  opnneiid  12804  cnntr  12865  metequiv  13135  bj-sseq  13673  bdeq0  13749  bdvsn  13756  bdop  13757  bdeqsuc  13763  bj-om  13819