Theorem eqss 3107

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem eqss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1463	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
2		dfcleq 2131	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		dfss2 3081	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		dfss2 3081	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
5	3, 4	anbi12i 455	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	1, 2, 5	3bitr4i 211	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-in 3072  df-ss 3079

This theorem is referenced by:  eqssi  3108  eqssd  3109  sseq1  3115  sseq2  3116  eqimss  3146  ssrabeq  3178  uneqin  3322  ss0b  3397  vss  3405  sssnm  3676  unidif  3763  ssunieq  3764  iuneq1  3821  iuneq2  3824  iunxdif2  3856  ssext  4138  pweqb  4140  eqopab2b  4196  pwunim  4203  soeq2  4233  iunpw  4396  ordunisuc2r  4425  tfi  4491  eqrel  4623  eqrelrel  4635  coeq1  4691  coeq2  4692  cnveq  4708  dmeq  4734  relssres  4852  xp11m  4972  xpcanm  4973  xpcan2m  4974  ssrnres  4976  fnres  5234  eqfnfv3  5513  fneqeql2  5522  fconst4m  5633  f1imaeq  5669  eqoprab2b  5822  fo1stresm  6052  fo2ndresm  6053  nnacan  6401  nnmcan  6408  ixpeq2  6599  sbthlemi3  6840  isprm2  11787  bastop1  12241  epttop  12248  opnneiid  12322  cnntr  12383  metequiv  12653  bj-sseq  12988  bdeq0  13054  bdvsn  13061  bdop  13062  bdeqsuc  13068  bj-om  13124