Theorem eqss 3199

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem eqss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1501	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
2		dfcleq 2190	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		ssalel 3172	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ssalel 3172	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
5	3, 4	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	1, 2, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  eqssi  3200  eqssd  3201  sseq1  3207  sseq2  3208  eqimss  3238  ssrabeq  3271  uneqin  3415  ss0b  3491  vss  3499  sssnm  3785  unidif  3872  ssunieq  3873  iuneq1  3930  iuneq2  3933  iunxdif2  3966  ssext  4255  pweqb  4257  eqopab2b  4315  pwunim  4322  soeq2  4352  iunpw  4516  ordunisuc2r  4551  tfi  4619  eqrel  4753  eqrelrel  4765  coeq1  4824  coeq2  4825  cnveq  4841  dmeq  4867  relssres  4985  xp11m  5109  xpcanm  5110  xpcan2m  5111  ssrnres  5113  fnres  5377  eqfnfv3  5664  fneqeql2  5674  fconst4m  5785  f1imaeq  5825  eqoprab2b  5984  fo1stresm  6228  fo2ndresm  6229  nnacan  6579  nnmcan  6586  ixpeq2  6780  sbthlemi3  7034  wrdeq  10974  isprm2  12310  lssle0  14004  bastop1  14403  epttop  14410  opnneiid  14484  cnntr  14545  metequiv  14815  bj-sseq  15522  bdeq0  15597  bdvsn  15604  bdop  15605  bdeqsuc  15611  bj-om  15667