Theorem eqss 3257

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem eqss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1536	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
2		dfcleq 2228	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		ssalel 3229	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		ssalel 3229	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
5	3, 4	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	1, 2, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1396   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  eqssi  3258  eqssd  3259  sseq1  3265  sseq2  3266  eqimss  3296  ssrabeq  3330  uneqin  3476  ss0b  3552  vss  3560  sssnm  3863  unidif  3951  ssunieq  3952  iuneq1  4009  iuneq2  4012  iunxdif2  4045  ssext  4342  pweqb  4344  eqopab2b  4403  pwunim  4412  soeq2  4442  iunpw  4606  ordunisuc2r  4641  tfi  4709  eqrel  4844  eqrelrel  4856  coeq1  4917  coeq2  4918  cnveq  4934  dmeq  4961  relssres  5081  xp11m  5206  xpcanm  5207  xpcan2m  5208  ssrnres  5210  fnres  5480  eqfnfv3  5782  fneqeql2  5792  fconst4m  5909  f1imaeq  5954  eqoprab2b  6119  fo1stresm  6368  fo2ndresm  6369  nnacan  6758  nnmcan  6765  ixpeq2  6960  sbthlemi3  7242  wrdeq  11271  isprm2  12839  lssle0  14632  bastop1  15060  epttop  15067  opnneiid  15141  cnntr  15202  metequiv  15472  bj-sseq  16676  bdeq0  16749  bdvsn  16756  bdop  16757  bdeqsuc  16763  bj-om  16819