Theorem eqss 3194

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem eqss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1498	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
2		dfcleq 2187	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		dfss2 3168	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		dfss2 3168	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴))
5	3, 4	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
6	1, 2, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  eqssi  3195  eqssd  3196  sseq1  3202  sseq2  3203  eqimss  3233  ssrabeq  3266  uneqin  3410  ss0b  3486  vss  3494  sssnm  3780  unidif  3867  ssunieq  3868  iuneq1  3925  iuneq2  3928  iunxdif2  3961  ssext  4250  pweqb  4252  eqopab2b  4310  pwunim  4317  soeq2  4347  iunpw  4511  ordunisuc2r  4546  tfi  4614  eqrel  4748  eqrelrel  4760  coeq1  4819  coeq2  4820  cnveq  4836  dmeq  4862  relssres  4980  xp11m  5104  xpcanm  5105  xpcan2m  5106  ssrnres  5108  fnres  5370  eqfnfv3  5657  fneqeql2  5667  fconst4m  5778  f1imaeq  5818  eqoprab2b  5976  fo1stresm  6214  fo2ndresm  6215  nnacan  6565  nnmcan  6572  ixpeq2  6766  sbthlemi3  7018  wrdeq  10936  isprm2  12255  lssle0  13868  bastop1  14251  epttop  14258  opnneiid  14332  cnntr  14393  metequiv  14663  bj-sseq  15284  bdeq0  15359  bdvsn  15366  bdop  15367  bdeqsuc  15373  bj-om  15429