Theorem addclpi 7647

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7636	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2		pinn 7629	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 7629	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnacl 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 7634	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7		nnaordi 6743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
8		ne0i 3517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
9	7, 8	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
10	9	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)))
11	10	imp32 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
12	6, 11	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
13		elni 7628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
14	5, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
15	2, 14	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
16	1, 15	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3510  ωcom 4714  (class class class)co 6052   +_o coa 6646  Ncnpi 7592   +_N cpli 7593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-oadd 6653  df-ni 7624  df-pli 7625

This theorem is referenced by:  addasspig  7650  distrpig  7653  ltapig  7658  1lt2pi  7660  indpi  7662  addcmpblnq  7687  addpipqqslem  7689  addclnq  7695  addassnqg  7702  distrnqg  7707  ltanqg  7720  1lt2nq  7726  ltexnqq  7728  archnqq  7737  prarloclemarch2  7739  nqnq0a  7774  nntopi  8214