Theorem 1pi 7435

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6613	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6525	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7428	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 945	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∅c0 3461  ωcom 4642  1_oc1o 6502  Ncnpi 7392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-uni 3853  df-int 3888  df-suc 4422  df-iom 4643  df-1o 6509  df-ni 7424

This theorem is referenced by:  mulidpi  7438  1lt2pi  7460  nlt1pig  7461  indpi  7462  1nq  7486  1qec  7508  mulidnq  7509  1lt2nq  7526  archnqq  7537  prarloclemarch  7538  prarloclemarch2  7539  nnnq  7542  ltnnnq  7543  nq0m0r  7576  nq0a0  7577  addpinq1  7584  nq02m  7585  prarloclemlt  7613  prarloclemlo  7614  prarloclemn  7619  prarloclemcalc  7622  nqprm  7662  caucvgprlemm  7788  caucvgprprlemml  7814  caucvgprprlemmu  7815  caucvgsrlemasr  7910  caucvgsr  7922  nntopi  8014