Theorem 1pi 7343

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6544	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6456	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7336	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∅c0 3437  ωcom 4607  1_oc1o 6433  Ncnpi 7300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-suc 4389  df-iom 4608  df-1o 6440  df-ni 7332

This theorem is referenced by:  mulidpi  7346  1lt2pi  7368  nlt1pig  7369  indpi  7370  1nq  7394  1qec  7416  mulidnq  7417  1lt2nq  7434  archnqq  7445  prarloclemarch  7446  prarloclemarch2  7447  nnnq  7450  ltnnnq  7451  nq0m0r  7484  nq0a0  7485  addpinq1  7492  nq02m  7493  prarloclemlt  7521  prarloclemlo  7522  prarloclemn  7527  prarloclemcalc  7530  nqprm  7570  caucvgprlemm  7696  caucvgprprlemml  7722  caucvgprprlemmu  7723  caucvgsrlemasr  7818  caucvgsr  7830  nntopi  7922