Theorem 1pi 7510

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6674	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6586	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7503	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 948	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491  ωcom 4682  1_oc1o 6561  Ncnpi 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-suc 4462  df-iom 4683  df-1o 6568  df-ni 7499

This theorem is referenced by:  mulidpi  7513  1lt2pi  7535  nlt1pig  7536  indpi  7537  1nq  7561  1qec  7583  mulidnq  7584  1lt2nq  7601  archnqq  7612  prarloclemarch  7613  prarloclemarch2  7614  nnnq  7617  ltnnnq  7618  nq0m0r  7651  nq0a0  7652  addpinq1  7659  nq02m  7660  prarloclemlt  7688  prarloclemlo  7689  prarloclemn  7694  prarloclemcalc  7697  nqprm  7737  caucvgprlemm  7863  caucvgprprlemml  7889  caucvgprprlemmu  7890  caucvgsrlemasr  7985  caucvgsr  7997  nntopi  8089