Theorem 1pi 7676

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6787	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6699	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7669	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520  ωcom 4735  1_oc1o 6674  Ncnpi 7633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-suc 4514  df-iom 4736  df-1o 6681  df-ni 7665

This theorem is referenced by:  mulidpi  7679  1lt2pi  7701  nlt1pig  7702  indpi  7703  1nq  7727  1qec  7749  mulidnq  7750  1lt2nq  7767  archnqq  7778  prarloclemarch  7779  prarloclemarch2  7780  nnnq  7783  ltnnnq  7784  nq0m0r  7817  nq0a0  7818  addpinq1  7825  nq02m  7826  prarloclemlt  7854  prarloclemlo  7855  prarloclemn  7860  prarloclemcalc  7863  nqprm  7903  caucvgprlemm  8029  caucvgprprlemml  8055  caucvgprprlemmu  8056  caucvgsrlemasr  8151  caucvgsr  8163  nntopi  8255