Theorem 1pi 7377

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6575	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6487	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7370	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3447  ωcom 4623  1_oc1o 6464  Ncnpi 7334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-suc 4403  df-iom 4624  df-1o 6471  df-ni 7366

This theorem is referenced by:  mulidpi  7380  1lt2pi  7402  nlt1pig  7403  indpi  7404  1nq  7428  1qec  7450  mulidnq  7451  1lt2nq  7468  archnqq  7479  prarloclemarch  7480  prarloclemarch2  7481  nnnq  7484  ltnnnq  7485  nq0m0r  7518  nq0a0  7519  addpinq1  7526  nq02m  7527  prarloclemlt  7555  prarloclemlo  7556  prarloclemn  7561  prarloclemcalc  7564  nqprm  7604  caucvgprlemm  7730  caucvgprprlemml  7756  caucvgprprlemmu  7757  caucvgsrlemasr  7852  caucvgsr  7864  nntopi  7956