Theorem 1pi 7578

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6731	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6643	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7571	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∅c0 3496  ωcom 4694  1_oc1o 6618  Ncnpi 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-suc 4474  df-iom 4695  df-1o 6625  df-ni 7567

This theorem is referenced by:  mulidpi  7581  1lt2pi  7603  nlt1pig  7604  indpi  7605  1nq  7629  1qec  7651  mulidnq  7652  1lt2nq  7669  archnqq  7680  prarloclemarch  7681  prarloclemarch2  7682  nnnq  7685  ltnnnq  7686  nq0m0r  7719  nq0a0  7720  addpinq1  7727  nq02m  7728  prarloclemlt  7756  prarloclemlo  7757  prarloclemn  7762  prarloclemcalc  7765  nqprm  7805  caucvgprlemm  7931  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemmu  7958  caucvgsrlemasr  8053  caucvgsr  8065  nntopi  8157