Theorem 1pi 7629

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6752	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6664	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7622	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∅c0 3507  ωcom 4711  1_oc1o 6639  Ncnpi 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-uni 3914  df-int 3949  df-suc 4491  df-iom 4712  df-1o 6646  df-ni 7618

This theorem is referenced by:  mulidpi  7632  1lt2pi  7654  nlt1pig  7655  indpi  7656  1nq  7680  1qec  7702  mulidnq  7703  1lt2nq  7720  archnqq  7731  prarloclemarch  7732  prarloclemarch2  7733  nnnq  7736  ltnnnq  7737  nq0m0r  7770  nq0a0  7771  addpinq1  7778  nq02m  7779  prarloclemlt  7807  prarloclemlo  7808  prarloclemn  7813  prarloclemcalc  7816  nqprm  7856  caucvgprlemm  7982  caucvgprprlemml  8008  caucvgprprlemmu  8009  caucvgsrlemasr  8104  caucvgsr  8116  nntopi  8208