Theorem 1pi 7401

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6587	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6499	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7394	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3451  ωcom 4627  1_oc1o 6476  Ncnpi 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628  df-1o 6483  df-ni 7390

This theorem is referenced by:  mulidpi  7404  1lt2pi  7426  nlt1pig  7427  indpi  7428  1nq  7452  1qec  7474  mulidnq  7475  1lt2nq  7492  archnqq  7503  prarloclemarch  7504  prarloclemarch2  7505  nnnq  7508  ltnnnq  7509  nq0m0r  7542  nq0a0  7543  addpinq1  7550  nq02m  7551  prarloclemlt  7579  prarloclemlo  7580  prarloclemn  7585  prarloclemcalc  7588  nqprm  7628  caucvgprlemm  7754  caucvgprprlemml  7780  caucvgprprlemmu  7781  caucvgsrlemasr  7876  caucvgsr  7888  nntopi  7980