Theorem 1pi 7646

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6766	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6678	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7639	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3512  ωcom 4717  1_oc1o 6653  Ncnpi 7603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-suc 4497  df-iom 4718  df-1o 6660  df-ni 7635

This theorem is referenced by:  mulidpi  7649  1lt2pi  7671  nlt1pig  7672  indpi  7673  1nq  7697  1qec  7719  mulidnq  7720  1lt2nq  7737  archnqq  7748  prarloclemarch  7749  prarloclemarch2  7750  nnnq  7753  ltnnnq  7754  nq0m0r  7787  nq0a0  7788  addpinq1  7795  nq02m  7796  prarloclemlt  7824  prarloclemlo  7825  prarloclemn  7830  prarloclemcalc  7833  nqprm  7873  caucvgprlemm  7999  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemmu  8026  caucvgsrlemasr  8121  caucvgsr  8133  nntopi  8225