Theorem 1pi 7147

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6424	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6337	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7140	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 927	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∅c0 3368  ωcom 4512  1_oc1o 6314  Ncnpi 7104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-suc 4301  df-iom 4513  df-1o 6321  df-ni 7136

This theorem is referenced by:  mulidpi  7150  1lt2pi  7172  nlt1pig  7173  indpi  7174  1nq  7198  1qec  7220  mulidnq  7221  1lt2nq  7238  archnqq  7249  prarloclemarch  7250  prarloclemarch2  7251  nnnq  7254  ltnnnq  7255  nq0m0r  7288  nq0a0  7289  addpinq1  7296  nq02m  7297  prarloclemlt  7325  prarloclemlo  7326  prarloclemn  7331  prarloclemcalc  7334  nqprm  7374  caucvgprlemm  7500  caucvgprprlemml  7526  caucvgprprlemmu  7527  caucvgsrlemasr  7622  caucvgsr  7634  nntopi  7726