Theorem 1pi 7277

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6499	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6411	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7270	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 937	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∅c0 3414  ωcom 4574  1_oc1o 6388  Ncnpi 7234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-1o 6395  df-ni 7266

This theorem is referenced by:  mulidpi  7280  1lt2pi  7302  nlt1pig  7303  indpi  7304  1nq  7328  1qec  7350  mulidnq  7351  1lt2nq  7368  archnqq  7379  prarloclemarch  7380  prarloclemarch2  7381  nnnq  7384  ltnnnq  7385  nq0m0r  7418  nq0a0  7419  addpinq1  7426  nq02m  7427  prarloclemlt  7455  prarloclemlo  7456  prarloclemn  7461  prarloclemcalc  7464  nqprm  7504  caucvgprlemm  7630  caucvgprprlemml  7656  caucvgprprlemmu  7657  caucvgsrlemasr  7752  caucvgsr  7764  nntopi  7856