Theorem 1pi 7490

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6656	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6568	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7483	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 948	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491  ωcom 4679  1_oc1o 6545  Ncnpi 7447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-suc 4459  df-iom 4680  df-1o 6552  df-ni 7479

This theorem is referenced by:  mulidpi  7493  1lt2pi  7515  nlt1pig  7516  indpi  7517  1nq  7541  1qec  7563  mulidnq  7564  1lt2nq  7581  archnqq  7592  prarloclemarch  7593  prarloclemarch2  7594  nnnq  7597  ltnnnq  7598  nq0m0r  7631  nq0a0  7632  addpinq1  7639  nq02m  7640  prarloclemlt  7668  prarloclemlo  7669  prarloclemn  7674  prarloclemcalc  7677  nqprm  7717  caucvgprlemm  7843  caucvgprprlemml  7869  caucvgprprlemmu  7870  caucvgsrlemasr  7965  caucvgsr  7977  nntopi  8069