Theorem 1pi 7528

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6683	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6595	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7521	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 948	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3492  ωcom 4686  1_oc1o 6570  Ncnpi 7485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-suc 4466  df-iom 4687  df-1o 6577  df-ni 7517

This theorem is referenced by:  mulidpi  7531  1lt2pi  7553  nlt1pig  7554  indpi  7555  1nq  7579  1qec  7601  mulidnq  7602  1lt2nq  7619  archnqq  7630  prarloclemarch  7631  prarloclemarch2  7632  nnnq  7635  ltnnnq  7636  nq0m0r  7669  nq0a0  7670  addpinq1  7677  nq02m  7678  prarloclemlt  7706  prarloclemlo  7707  prarloclemn  7712  prarloclemcalc  7715  nqprm  7755  caucvgprlemm  7881  caucvgprprlemml  7907  caucvgprprlemmu  7908  caucvgsrlemasr  8003  caucvgsr  8015  nntopi  8107