Theorem 1pi 6874

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1𝑜 ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6279	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		1n0 6197	. 2 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
3		elni 6867	. 2 ⊢ (1𝑜 ∈ N ↔ (1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 888	1 ⊢ 1𝑜 ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 1438   ≠ wne 2255  ∅c0 3286  ωcom 4405  1_𝑜c1o 6174  Ncnpi 6831

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-suc 4198  df-iom 4406  df-1o 6181  df-ni 6863

This theorem is referenced by:  mulidpi  6877  1lt2pi  6899  nlt1pig  6900  indpi  6901  1nq  6925  1qec  6947  mulidnq  6948  1lt2nq  6965  archnqq  6976  prarloclemarch  6977  prarloclemarch2  6978  nnnq  6981  ltnnnq  6982  nq0m0r  7015  nq0a0  7016  addpinq1  7023  nq02m  7024  prarloclemlt  7052  prarloclemlo  7053  prarloclemn  7058  prarloclemcalc  7061  nqprm  7101  caucvgprlemm  7227  caucvgprprlemml  7253  caucvgprprlemmu  7254  caucvgsrlemasr  7335  caucvgsr  7347  nntopi  7429