Theorem 1pi 7535

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6688	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6600	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7528	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 950	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∅c0 3494  ωcom 4688  1_oc1o 6575  Ncnpi 7492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6582  df-ni 7524

This theorem is referenced by:  mulidpi  7538  1lt2pi  7560  nlt1pig  7561  indpi  7562  1nq  7586  1qec  7608  mulidnq  7609  1lt2nq  7626  archnqq  7637  prarloclemarch  7638  prarloclemarch2  7639  nnnq  7642  ltnnnq  7643  nq0m0r  7676  nq0a0  7677  addpinq1  7684  nq02m  7685  prarloclemlt  7713  prarloclemlo  7714  prarloclemn  7719  prarloclemcalc  7722  nqprm  7762  caucvgprlemm  7888  caucvgprprlemml  7914  caucvgprprlemmu  7915  caucvgsrlemasr  8010  caucvgsr  8022  nntopi  8114