Theorem 1pi 7123

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6416	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6329	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7116	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 926	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∅c0 3363  ωcom 4504  1_oc1o 6306  Ncnpi 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505  df-1o 6313  df-ni 7112

This theorem is referenced by:  mulidpi  7126  1lt2pi  7148  nlt1pig  7149  indpi  7150  1nq  7174  1qec  7196  mulidnq  7197  1lt2nq  7214  archnqq  7225  prarloclemarch  7226  prarloclemarch2  7227  nnnq  7230  ltnnnq  7231  nq0m0r  7264  nq0a0  7265  addpinq1  7272  nq02m  7273  prarloclemlt  7301  prarloclemlo  7302  prarloclemn  7307  prarloclemcalc  7310  nqprm  7350  caucvgprlemm  7476  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemmu  7503  caucvgsrlemasr  7598  caucvgsr  7610  nntopi  7702