Theorem 1pi 7518

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6679	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6591	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7511	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 948	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491  ωcom 4683  1_oc1o 6566  Ncnpi 7475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-suc 4463  df-iom 4684  df-1o 6573  df-ni 7507

This theorem is referenced by:  mulidpi  7521  1lt2pi  7543  nlt1pig  7544  indpi  7545  1nq  7569  1qec  7591  mulidnq  7592  1lt2nq  7609  archnqq  7620  prarloclemarch  7621  prarloclemarch2  7622  nnnq  7625  ltnnnq  7626  nq0m0r  7659  nq0a0  7660  addpinq1  7667  nq02m  7668  prarloclemlt  7696  prarloclemlo  7697  prarloclemn  7702  prarloclemcalc  7705  nqprm  7745  caucvgprlemm  7871  caucvgprprlemml  7897  caucvgprprlemmu  7898  caucvgsrlemasr  7993  caucvgsr  8005  nntopi  8097