Theorem 1pi 7264

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6496	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6408	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7257	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 937	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∅c0 3414  ωcom 4572  1_oc1o 6385  Ncnpi 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-uni 3795  df-int 3830  df-suc 4354  df-iom 4573  df-1o 6392  df-ni 7253

This theorem is referenced by:  mulidpi  7267  1lt2pi  7289  nlt1pig  7290  indpi  7291  1nq  7315  1qec  7337  mulidnq  7338  1lt2nq  7355  archnqq  7366  prarloclemarch  7367  prarloclemarch2  7368  nnnq  7371  ltnnnq  7372  nq0m0r  7405  nq0a0  7406  addpinq1  7413  nq02m  7414  prarloclemlt  7442  prarloclemlo  7443  prarloclemn  7448  prarloclemcalc  7451  nqprm  7491  caucvgprlemm  7617  caucvgprprlemml  7643  caucvgprprlemmu  7644  caucvgsrlemasr  7739  caucvgsr  7751  nntopi  7843