Theorem 1pi 7382

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6578	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6490	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7375	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	1 ⊢ 1o ∈ N

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3450  ωcom 4626  1_oc1o 6467  Ncnpi 7339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627  df-1o 6474  df-ni 7371

This theorem is referenced by:  mulidpi  7385  1lt2pi  7407  nlt1pig  7408  indpi  7409  1nq  7433  1qec  7455  mulidnq  7456  1lt2nq  7473  archnqq  7484  prarloclemarch  7485  prarloclemarch2  7486  nnnq  7489  ltnnnq  7490  nq0m0r  7523  nq0a0  7524  addpinq1  7531  nq02m  7532  prarloclemlt  7560  prarloclemlo  7561  prarloclemn  7566  prarloclemcalc  7569  nqprm  7609  caucvgprlemm  7735  caucvgprprlemml  7761  caucvgprprlemmu  7762  caucvgsrlemasr  7857  caucvgsr  7869  nntopi  7961