Theorem 1pi 7689

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	⊢ 1o ∈ N

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6797	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 6709	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
3		elni 7682	. 2 ⊢ (1o ∈ N ↔ (1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	1 ⊢ 1o ∈ N

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520  ωcom 4739  1_oc1o 6684  Ncnpi 7646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4518  df-iom 4740  df-1o 6691  df-ni 7678

This theorem is used by:  mulidpi  7692  1lt2pi  7714  nlt1pig  7715  indpi  7716  1nq  7740  1qec  7762  mulidnq  7763  1lt2nq  7780  archnqq  7791  prarloclemarch  7792  prarloclemarch2  7793  nnnq  7796  ltnnnq  7797  nq0m0r  7830  nq0a0  7831  addpinq1  7838  nq02m  7839  prarloclemlt  7867  prarloclemlo  7868  prarloclemn  7873  prarloclemcalc  7876  nqprm  7916  caucvgprlemm  8042  caucvgprprlemml  8068  caucvgprprlemmu  8069  caucvgsrlemasr  8164  caucvgsr  8176  nntopi  8268