ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig GIF version

Theorem nlt1pig 7156
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 7123 . . 3 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 273 . 2 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 3367 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 7130 . . . . . . . . 9 1oN
5 ltpiord 7134 . . . . . . . . 9 ((𝐴N ∧ 1oN) → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
64, 5mpan2 421 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
7 df-1o 6313 . . . . . . . . . 10 1o = suc ∅
87eleq2i 2206 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 1o𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 4326 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 191 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 187 . . . . . . 7 (𝐴N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 294 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 713 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 15 . . . 4 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
1514ex 114 . . 3 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2350 . 2 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
172, 16mpd 13 1 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  c0 3363   class class class wbr 3929  suc csuc 4287  ωcom 4504  1oc1o 6306  Ncnpi 7087   <N clti 7090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-eprel 4211  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-1o 6313  df-ni 7119  df-lti 7122
This theorem is referenced by:  caucvgsr  7617
  Copyright terms: Public domain W3C validator