Theorem nlt1pig 7516

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 7483	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 3495	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 7490	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ N
5		ltpiord 7494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ 𝐴 ∈ 1o))
7		df-1o 6552	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
8	7	eleq2i 2296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	bitrid 192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1o → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2442	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
17	2, 16	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491   class class class wbr 4082  suc csuc 4453  ωcom 4679  1_oc1o 6545  Ncnpi 7447   <_N clti 7450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-eprel 4377  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-1o 6552  df-ni 7479  df-lti 7482

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7977