Theorem nlt1pig 6803

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 6770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 3273	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ N
5		ltpiord 6781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
6	4, 5	mpan2 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
7		df-1o 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
8	7	eleq2i 2149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 4195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
17	2, 16	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249  ∅c0 3269   class class class wbr 3811  suc csuc 4156  ωcom 4368  1_𝑜c1o 6106  Ncnpi 6734   <_N clti 6737

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-eprel 4080  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-1o 6113  df-ni 6766  df-lti 6769

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7250