ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig GIF version

Theorem nlt1pig 6803
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 6770 . . 3 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 269 . 2 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 3273 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 6777 . . . . . . . . 9 1𝑜N
5 ltpiord 6781 . . . . . . . . 9 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
64, 5mpan2 416 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
7 df-1o 6113 . . . . . . . . . 10 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2149 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 1𝑜𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 4195 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 190 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 186 . . . . . . 7 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 290 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 676 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 15 . . . 4 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
1514ex 113 . . 3 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2291 . 2 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
172, 16mpd 13 1 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  c0 3269   class class class wbr 3811  suc csuc 4156  ωcom 4368  1𝑜c1o 6106  Ncnpi 6734   <N clti 6737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-eprel 4080  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-1o 6113  df-ni 6766  df-lti 6769
This theorem is referenced by:  caucvgsr  7250
  Copyright terms: Public domain W3C validator