Theorem prarloclemcalc 7859

Description: Some calculations for prarloc 7860. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemcalc	⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 543	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q)
2		nqnq0a 7811	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
3	1, 1, 2	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
4	3	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6		simprrl 545	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q)
7		simprrr 546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8		1pi 7672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
9		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
10	8, 9	mpan2 429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
11		enq0ex 7796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~Q0 ∈ V
12	11	ecelqsi 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14		df-nq0 7782	. . . . . . . . 9 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
15	13, 14	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
16	7, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
17		nqnq0 7798	. . . . . . . 8 ⊢ Q ⊆ Q0
18	17, 1	sselid 3246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q0)
19		mulclnq0 7809	. . . . . . 7 ⊢ (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
20	16, 18, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21		nqpnq0nq 7810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
22	6, 20, 21	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
23	5, 22	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 ∈ Q)
24		addclnq 7732	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
25	1, 1, 24	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26		nqnq0a 7811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
27	23, 25, 26	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29		2onn 6784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ ω
30		2on0 6687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ≠ ∅
31		elni 7665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2o ∈ N ↔ (2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅))
32	29, 30, 31	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ N
33		nnppipi 7700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ N) → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
34	32, 33	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
35		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
36	34, 8, 35	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
37		enqex 7717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q ∈ V
38	37	ecelqsi 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40		df-nqqs 7705	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
41	39, 40	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
42	7, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
43		mulclnq 7733	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
44	42, 1, 43	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45		nqnq0a 7811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
46	6, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47		nqnq0m 7812	. . . . . . . . 9 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
48	42, 1, 47	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49		nqnq0pi 7795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
50	34, 8, 49	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
51	7, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
52	51	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
53	48, 52	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
54	53	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
55	28, 46, 54	3eqtrd 2275	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56		nnanq0 7815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
57	8, 56	mp3an3 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
58	7, 29, 57	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
59	58	oveq1d 6090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N))
61	29, 8, 60	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N)
62	11	ecelqsi 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
64	63, 14	eleqtrri 2314	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0
65		distnq0r 7820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
66	64, 65	mp3an3 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
67	18, 16, 66	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
68	59, 67	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
69	68	oveq2d 6091	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70		nq02m 7822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
71	70	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
72	71	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
73	18, 72	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
74	17, 6	sselid 3246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q0)
75		addclnq0 7808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
76	18, 18, 75	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77		addassnq0 7819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
78	74, 20, 76, 77	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
79	73, 78	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
80	55, 69, 79	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81		oveq1 6082	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
82	81	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
83	5, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
84	80, 83	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
85	4, 27, 84	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86		simprlr 544	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87		ltrelnq 7722	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
88	87	brel 4822	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
89	86, 88	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
90		ltanqg 7757	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91	90	3expa 1234	. . . 4 ⊢ ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
92	89, 23, 91	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
93	86, 92	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
94	85, 93	eqbrtrd 4147	1 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  ωcom 4732   × cxp 4767  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   +_o coa 6674  [cec 6795   / cqs 6796  Ncnpi 7629   ~_Q ceq 7636  Qcnq 7637   +_Q cplq 7639   ·_Q cmq 7640   <_Q cltq 7642   ~_Q0 ceq0 7643  Q₀cnq0 7644   +_Q0 cplq0 7646   ·_Q0 cmq0 7647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-plq0 7784  df-mq0 7785

This theorem is referenced by:  prarloc  7860