Theorem prarloclemcalc 7443

Description: Some calculations for prarloc 7444. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemcalc	⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q)
2		nqnq0a 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
3	1, 1, 2	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
4	3	oveq2d 5858	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6		simprrl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q)
7		simprrr 530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8		1pi 7256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
9		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
10	8, 9	mpan2 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
11		enq0ex 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~Q0 ∈ V
12	11	ecelqsi 6555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14		df-nq0 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
15	13, 14	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
16	7, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
17		nqnq0 7382	. . . . . . . 8 ⊢ Q ⊆ Q0
18	17, 1	sselid 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q0)
19		mulclnq0 7393	. . . . . . 7 ⊢ (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
20	16, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21		nqpnq0nq 7394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
22	6, 20, 21	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
23	5, 22	eqeltrd 2243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 ∈ Q)
24		addclnq 7316	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
25	1, 1, 24	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26		nqnq0a 7395	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
27	23, 25, 26	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29		2onn 6489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ ω
30		2on0 6394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ≠ ∅
31		elni 7249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2o ∈ N ↔ (2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅))
32	29, 30, 31	mpbir2an 932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ N
33		nnppipi 7284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ N) → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
34	32, 33	mpan2 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
35		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
36	34, 8, 35	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
37		enqex 7301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q ∈ V
38	37	ecelqsi 6555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40		df-nqqs 7289	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
41	39, 40	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
42	7, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
43		mulclnq 7317	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
44	42, 1, 43	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45		nqnq0a 7395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
46	6, 44, 45	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47		nqnq0m 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
48	42, 1, 47	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49		nqnq0pi 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
50	34, 8, 49	sylancl 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
51	7, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
52	51	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
53	48, 52	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
54	53	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
55	28, 46, 54	3eqtrd 2202	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56		nnanq0 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
57	8, 56	mp3an3 1316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
58	7, 29, 57	sylancl 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
59	58	oveq1d 5857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N))
61	29, 8, 60	mp2an 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N)
62	11	ecelqsi 6555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
64	63, 14	eleqtrri 2242	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0
65		distnq0r 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
66	64, 65	mp3an3 1316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
67	18, 16, 66	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
68	59, 67	eqtrd 2198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
69	68	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70		nq02m 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
71	70	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
72	71	oveq2d 5858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
73	18, 72	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
74	17, 6	sselid 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q0)
75		addclnq0 7392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
76	18, 18, 75	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77		addassnq0 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
78	74, 20, 76, 77	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
79	73, 78	eqtr4d 2201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
80	55, 69, 79	3eqtrd 2202	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81		oveq1 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
82	81	eqeq2d 2177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
83	5, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
84	80, 83	mpbird 166	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
85	4, 27, 84	3eqtr4rd 2209	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86		simprlr 528	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87		ltrelnq 7306	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
88	87	brel 4656	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
89	86, 88	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
90		ltanqg 7341	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91	90	3expa 1193	. . . 4 ⊢ ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
92	89, 23, 91	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
93	86, 92	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
94	85, 93	eqbrtrd 4004	1 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∅c0 3409  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  ωcom 4567   × cxp 4602  (class class class)co 5842  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378   +_o coa 6381  [cec 6499   / cqs 6500  Ncnpi 7213   ~_Q ceq 7220  Qcnq 7221   +_Q cplq 7223   ·_Q cmq 7224   <_Q cltq 7226   ~_Q0 ceq0 7227  Q₀cnq0 7228   +_Q0 cplq0 7230   ·_Q0 cmq0 7231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-plq0 7368  df-mq0 7369

This theorem is referenced by:  prarloc  7444