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Theorem prarloclemcalc 7476
Description: Some calculations for prarloc 7477. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemcalc (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc
StepHypRef Expression
1 simprll 537 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑄Q)
2 nqnq0a 7428 . . . . 5 ((𝑄Q𝑄Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
31, 1, 2syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
43oveq2d 5881 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5 simpll 527 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6 simprrl 539 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑋Q)
7 simprrr 540 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8 1pi 7289 . . . . . . . . . . 11 1oN
9 opelxpi 4652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ω ∧ 1oN) → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
108, 9mpan2 425 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
11 enq0ex 7413 . . . . . . . . . . 11 ~Q0 ∈ V
1211ecelqsi 6579 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14 df-nq0 7399 . . . . . . . . 9 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
1513, 14eleqtrrdi 2269 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0Q0)
167, 15syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0Q0)
17 nqnq0 7415 . . . . . . . 8 QQ0
1817, 1sselid 3151 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑄Q0)
19 mulclnq0 7426 . . . . . . 7 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0Q0𝑄Q0) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
2016, 18, 19syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21 nqpnq0nq 7427 . . . . . 6 ((𝑋Q ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
226, 20, 21syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
235, 22eqeltrd 2252 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐴Q)
24 addclnq 7349 . . . . 5 ((𝑄Q𝑄Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
251, 1, 24syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26 nqnq0a 7428 . . . 4 ((𝐴Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
2723, 25, 26syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29 2onn 6512 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ ω
30 2on0 6417 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ≠ ∅
31 elni 7282 . . . . . . . . . . . . . 14 (2oN ↔ (2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅))
3229, 30, 31mpbir2an 942 . . . . . . . . . . . . 13 2oN
33 nnppipi 7317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2oN) → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
3432, 33mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
35 opelxpi 4652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1oN) → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
3634, 8, 35sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
37 enqex 7334 . . . . . . . . . . . 12 ~Q ∈ V
3837ecelqsi 6579 . . . . . . . . . . 11 (⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
3936, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40 df-nqqs 7322 . . . . . . . . . 10 Q = ((N × N) / ~Q )
4139, 40eleqtrrdi 2269 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~QQ)
427, 41syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~QQ)
43 mulclnq 7350 . . . . . . . 8 (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~QQ𝑄Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
4442, 1, 43syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45 nqnq0a 7428 . . . . . . 7 ((𝑋Q ∧ ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
466, 44, 45syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47 nqnq0m 7429 . . . . . . . . 9 (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~QQ𝑄Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
4842, 1, 47syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49 nqnq0pi 7412 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1oN) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
5034, 8, 49sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
517, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
5251oveq1d 5880 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
5348, 52eqtr4d 2211 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
5453oveq2d 5881 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
5528, 46, 543eqtrd 2212 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56 nnanq0 7432 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω ∧ 1oN) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
578, 56mp3an3 1326 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
587, 29, 57sylancl 413 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
5958oveq1d 5880 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60 opelxpi 4652 . . . . . . . . . . . 12 ((2o ∈ ω ∧ 1oN) → ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N))
6129, 8, 60mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N)
6211ecelqsi 6579 . . . . . . . . . . 11 (⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
6463, 14eleqtrri 2251 . . . . . . . . 9 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0Q0
65 distnq0r 7437 . . . . . . . . 9 ((𝑄Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0Q0 ∧ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6664, 65mp3an3 1326 . . . . . . . 8 ((𝑄Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6718, 16, 66syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6859, 67eqtrd 2208 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6968oveq2d 5881 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70 nq02m 7439 . . . . . . . . 9 (𝑄Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
7170oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (𝑄Q0 → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
7271oveq2d 5881 . . . . . . 7 (𝑄Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7318, 72syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7417, 6sselid 3151 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑋Q0)
75 addclnq0 7425 . . . . . . . 8 ((𝑄Q0𝑄Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
7618, 18, 75syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77 addassnq0 7436 . . . . . . 7 ((𝑋Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7874, 20, 76, 77syl3anc 1238 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7973, 78eqtr4d 2211 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
8055, 69, 793eqtrd 2212 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81 oveq1 5872 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
8281eqeq2d 2187 . . . . 5 (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
835, 82syl 14 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
8480, 83mpbird 167 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
854, 27, 843eqtr4rd 2219 . 2 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86 simprlr 538 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87 ltrelnq 7339 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
8887brel 4672 . . . . 5 ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q))
8986, 88syl 14 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q))
90 ltanqg 7374 . . . . 5 (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q𝐴Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91903expa 1203 . . . 4 ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q) ∧ 𝐴Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
9289, 23, 91syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
9386, 92mpbid 147 . 2 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
9485, 93eqbrtrd 4020 1 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345  c0 3420  cop 3592   class class class wbr 3998  ωcom 4583   × cxp 4618  (class class class)co 5865  1oc1o 6400  2oc2o 6401   +o coa 6404  [cec 6523   / cqs 6524  Ncnpi 7246   ~Q ceq 7253  Qcnq 7254   +Q cplq 7256   ·Q cmq 7257   <Q cltq 7259   ~Q0 ceq0 7260  Q0cnq0 7261   +Q0 cplq0 7263   ·Q0 cmq0 7264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-pli 7279  df-mi 7280  df-lti 7281  df-plpq 7318  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-plqqs 7323  df-mqqs 7324  df-ltnqqs 7327  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-plq0 7401  df-mq0 7402
This theorem is referenced by:  prarloc  7477
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