Theorem prarloclemcalc 7530

Description: Some calculations for prarloc 7531. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemcalc	⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 537	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q)
2		nqnq0a 7482	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
3	1, 1, 2	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
4	3	oveq2d 5911	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6		simprrl 539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q)
7		simprrr 540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8		1pi 7343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
9		opelxpi 4676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
11		enq0ex 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~Q0 ∈ V
12	11	ecelqsi 6614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14		df-nq0 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
15	13, 14	eleqtrrdi 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
16	7, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
17		nqnq0 7469	. . . . . . . 8 ⊢ Q ⊆ Q0
18	17, 1	sselid 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q0)
19		mulclnq0 7480	. . . . . . 7 ⊢ (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21		nqpnq0nq 7481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
22	6, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
23	5, 22	eqeltrd 2266	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 ∈ Q)
24		addclnq 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
25	1, 1, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26		nqnq0a 7482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29		2onn 6545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ ω
30		2on0 6450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ≠ ∅
31		elni 7336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2o ∈ N ↔ (2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅))
32	29, 30, 31	mpbir2an 944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ N
33		nnppipi 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ N) → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
34	32, 33	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
35		opelxpi 4676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
36	34, 8, 35	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
37		enqex 7388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q ∈ V
38	37	ecelqsi 6614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40		df-nqqs 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
41	39, 40	eleqtrrdi 2283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
42	7, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
43		mulclnq 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
44	42, 1, 43	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45		nqnq0a 7482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
46	6, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47		nqnq0m 7483	. . . . . . . . 9 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
48	42, 1, 47	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49		nqnq0pi 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
50	34, 8, 49	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
51	7, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
52	51	oveq1d 5910	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
53	48, 52	eqtr4d 2225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
54	53	oveq2d 5911	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
55	28, 46, 54	3eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56		nnanq0 7486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
57	8, 56	mp3an3 1337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
58	7, 29, 57	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
59	58	oveq1d 5910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60		opelxpi 4676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N))
61	29, 8, 60	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N)
62	11	ecelqsi 6614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
64	63, 14	eleqtrri 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0
65		distnq0r 7491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
66	64, 65	mp3an3 1337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
67	18, 16, 66	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
68	59, 67	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
69	68	oveq2d 5911	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70		nq02m 7493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
71	70	oveq2d 5911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
72	71	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
73	18, 72	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
74	17, 6	sselid 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q0)
75		addclnq0 7479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
76	18, 18, 75	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77		addassnq0 7490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
78	74, 20, 76, 77	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
79	73, 78	eqtr4d 2225	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
80	55, 69, 79	3eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81		oveq1 5902	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
82	81	eqeq2d 2201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
83	5, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
84	80, 83	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
85	4, 27, 84	3eqtr4rd 2233	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86		simprlr 538	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87		ltrelnq 7393	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
88	87	brel 4696	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
89	86, 88	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
90		ltanqg 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91	90	3expa 1205	. . . 4 ⊢ ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
92	89, 23, 91	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
93	86, 92	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
94	85, 93	eqbrtrd 4040	1 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∅c0 3437  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018  ωcom 4607   × cxp 4642  (class class class)co 5895  1_oc1o 6433  2_oc2o 6434   +_o coa 6437  [cec 6556   / cqs 6557  Ncnpi 7300   ~_Q ceq 7307  Qcnq 7308   +_Q cplq 7310   ·_Q cmq 7311   <_Q cltq 7313   ~_Q0 ceq0 7314  Q₀cnq0 7315   +_Q0 cplq0 7317   ·_Q0 cmq0 7318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-plq0 7455  df-mq0 7456

This theorem is referenced by:  prarloc  7531