![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulclpi | GIF version |
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulclpi | โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) โ N) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulpiord 7318 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต)) | |
2 | pinn 7310 | . . . 4 โข (๐ด โ N โ ๐ด โ ฯ) | |
3 | pinn 7310 | . . . 4 โข (๐ต โ N โ ๐ต โ ฯ) | |
4 | nnmcl 6484 | . . . 4 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ) | |
5 | 2, 3, 4 | syl2an 289 | . . 3 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ) |
6 | elni2 7315 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ N โ (๐ต โ ฯ โง โ โ ๐ต)) | |
7 | 6 | simprbi 275 | . . . . . 6 โข (๐ต โ N โ โ โ ๐ต) |
8 | 7 | adantl 277 | . . . . 5 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ โ โ ๐ต) |
9 | 3 | adantl 277 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ ๐ต โ ฯ) |
10 | 2 | adantr 276 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ ๐ด โ ฯ) |
11 | elni2 7315 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ N โ (๐ด โ ฯ โง โ โ ๐ด)) | |
12 | 11 | simprbi 275 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ N โ โ โ ๐ด) |
13 | 12 | adantr 276 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ โ โ ๐ด) |
14 | nnmordi 6519 | . . . . . 6 โข (((๐ต โ ฯ โง ๐ด โ ฯ) โง โ โ ๐ด) โ (โ โ ๐ต โ (๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต))) | |
15 | 9, 10, 13, 14 | syl21anc 1237 | . . . . 5 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (โ โ ๐ต โ (๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
16 | 8, 15 | mpd 13 | . . . 4 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
17 | ne0i 3431 | . . . 4 โข ((๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ โ ) | |
18 | 16, 17 | syl 14 | . . 3 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ โ ) |
19 | elni 7309 | . . 3 โข ((๐ด ยทo ๐ต) โ N โ ((๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ โง (๐ด ยทo ๐ต) โ โ )) | |
20 | 5, 18, 19 | sylanbrc 417 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ N) |
21 | 1, 20 | eqeltrd 2254 | 1 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) โ N) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wcel 2148 โ wne 2347 โ c0 3424 ฯcom 4591 (class class class)co 5877 ยทo comu 6417 Ncnpi 7273 ยทN cmi 7275 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-oadd 6423 df-omul 6424 df-ni 7305 df-mi 7307 |
This theorem is referenced by: mulasspig 7333 distrpig 7334 ltmpig 7340 enqer 7359 enqdc 7362 addcmpblnq 7368 mulcmpblnq 7369 addpipqqslem 7370 mulpipq2 7372 mulpipqqs 7374 ordpipqqs 7375 addclnq 7376 mulclnq 7377 addcomnqg 7382 addassnqg 7383 mulassnqg 7385 mulcanenq 7386 distrnqg 7388 recexnq 7391 nqtri3or 7397 ltdcnq 7398 ltsonq 7399 ltanqg 7401 ltmnqg 7402 1lt2nq 7407 ltexnqq 7409 archnqq 7418 addcmpblnq0 7444 mulcmpblnq0 7445 mulcanenq0ec 7446 addclnq0 7452 mulclnq0 7453 nqpnq0nq 7454 nqnq0a 7455 nqnq0m 7456 nq0m0r 7457 distrnq0 7460 addassnq0lemcl 7462 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |