ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclpi GIF version

Theorem mulclpi 7329
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 7318 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต))
2 pinn 7310 . . . 4 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
3 pinn 7310 . . . 4 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
4 nnmcl 6484 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
52, 3, 4syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
6 elni2 7315 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ N โ†” (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))
76simprbi 275 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ N โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
87adantl 277 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
93adantl 277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
102adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
11 elni2 7315 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ N โ†” (๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด))
1211simprbi 275 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ N โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
1312adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
14 nnmordi 6519 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
159, 10, 13, 14syl21anc 1237 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
168, 15mpd 13 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))
17 ne0i 3431 . . . 4 ((๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…)
1816, 17syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…)
19 elni 7309 . . 3 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ N โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
205, 18, 19sylanbrc 417 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ N)
211, 20eqeltrd 2254 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆ…c0 3424  ฯ‰com 4591  (class class class)co 5877   ยทo comu 6417  Ncnpi 7273   ยทN cmi 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-ni 7305  df-mi 7307
This theorem is referenced by:  mulasspig  7333  distrpig  7334  ltmpig  7340  enqer  7359  enqdc  7362  addcmpblnq  7368  mulcmpblnq  7369  addpipqqslem  7370  mulpipq2  7372  mulpipqqs  7374  ordpipqqs  7375  addclnq  7376  mulclnq  7377  addcomnqg  7382  addassnqg  7383  mulassnqg  7385  mulcanenq  7386  distrnqg  7388  recexnq  7391  nqtri3or  7397  ltdcnq  7398  ltsonq  7399  ltanqg  7401  ltmnqg  7402  1lt2nq  7407  ltexnqq  7409  archnqq  7418  addcmpblnq0  7444  mulcmpblnq0  7445  mulcanenq0ec  7446  addclnq0  7452  mulclnq0  7453  nqpnq0nq  7454  nqnq0a  7455  nqnq0m  7456  nq0m0r  7457  distrnq0  7460  addassnq0lemcl  7462
  Copyright terms: Public domain W3C validator