ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclpi GIF version

Theorem mulclpi 7318
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 7307 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2 pinn 7299 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 7299 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 6476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 289 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 7304 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 275 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 277 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 7304 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 275 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 6511 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 1237 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
168, 15mpd 13 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
17 ne0i 3429 . . . 4 ((𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
1816, 17syl 14 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
19 elni 7298 . . 3 ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
205, 18, 19sylanbrc 417 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
211, 20eqeltrd 2254 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wne 2347  c0 3422  ωcom 4586  (class class class)co 5869   ·o comu 6409  Ncnpi 7262   ·N cmi 7264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-ni 7294  df-mi 7296
This theorem is referenced by:  mulasspig  7322  distrpig  7323  ltmpig  7329  enqer  7348  enqdc  7351  addcmpblnq  7357  mulcmpblnq  7358  addpipqqslem  7359  mulpipq2  7361  mulpipqqs  7363  ordpipqqs  7364  addclnq  7365  mulclnq  7366  addcomnqg  7371  addassnqg  7372  mulassnqg  7374  mulcanenq  7375  distrnqg  7377  recexnq  7380  nqtri3or  7386  ltdcnq  7387  ltsonq  7388  ltanqg  7390  ltmnqg  7391  1lt2nq  7396  ltexnqq  7398  archnqq  7407  addcmpblnq0  7433  mulcmpblnq0  7434  mulcanenq0ec  7435  addclnq0  7441  mulclnq0  7442  nqpnq0nq  7443  nqnq0a  7444  nqnq0m  7445  nq0m0r  7446  distrnq0  7449  addassnq0lemcl  7451
  Copyright terms: Public domain W3C validator