Theorem pinn 7507

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7502	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3330	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3256	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3220	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   ∖ cdif 3194  ∅c0 3491  {csn 3666  ωcom 4682  Ncnpi 7470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-ni 7502

This theorem is referenced by:  pion  7508  piord  7509  elni2  7512  mulidpi  7516  ltsopi  7518  pitric  7519  pitri3or  7520  ltdcpi  7521  addclpi  7525  mulclpi  7526  addcompig  7527  addasspig  7528  mulcompig  7529  mulasspig  7530  distrpig  7531  addcanpig  7532  mulcanpig  7533  addnidpig  7534  ltexpi  7535  ltapig  7536  ltmpig  7537  nnppipi  7541  enqdc  7559  archnqq  7615  prarloclemarch2  7617  enq0enq  7629  enq0sym  7630  enq0ref  7631  enq0tr  7632  nqnq0pi  7636  nqnq0  7639  addcmpblnq0  7641  mulcmpblnq0  7642  mulcanenq0ec  7643  addclnq0  7649  nqpnq0nq  7651  nqnq0a  7652  nqnq0m  7653  nq0m0r  7654  nq0a0  7655  nnanq0  7656  distrnq0  7657  mulcomnq0  7658  addassnq0lemcl  7659  addassnq0  7660  nq02m  7663  prarloclemlt  7691  prarloclemn  7697