Theorem pinn 7528

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7523	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3333	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3259	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3223	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3197  ∅c0 3494  {csn 3669  ωcom 4688  Ncnpi 7491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-ni 7523

This theorem is referenced by:  pion  7529  piord  7530  elni2  7533  mulidpi  7537  ltsopi  7539  pitric  7540  pitri3or  7541  ltdcpi  7542  addclpi  7546  mulclpi  7547  addcompig  7548  addasspig  7549  mulcompig  7550  mulasspig  7551  distrpig  7552  addcanpig  7553  mulcanpig  7554  addnidpig  7555  ltexpi  7556  ltapig  7557  ltmpig  7558  nnppipi  7562  enqdc  7580  archnqq  7636  prarloclemarch2  7638  enq0enq  7650  enq0sym  7651  enq0ref  7652  enq0tr  7653  nqnq0pi  7657  nqnq0  7660  addcmpblnq0  7662  mulcmpblnq0  7663  mulcanenq0ec  7664  addclnq0  7670  nqpnq0nq  7672  nqnq0a  7673  nqnq0m  7674  nq0m0r  7675  nq0a0  7676  nnanq0  7677  distrnq0  7678  mulcomnq0  7679  addassnq0lemcl  7680  addassnq0  7681  nq02m  7684  prarloclemlt  7712  prarloclemn  7718