Theorem pinn 7378

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7373	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3290	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3216	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154  ∅c0 3451  {csn 3623  ωcom 4627  Ncnpi 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-ni 7373

This theorem is referenced by:  pion  7379  piord  7380  elni2  7383  mulidpi  7387  ltsopi  7389  pitric  7390  pitri3or  7391  ltdcpi  7392  addclpi  7396  mulclpi  7397  addcompig  7398  addasspig  7399  mulcompig  7400  mulasspig  7401  distrpig  7402  addcanpig  7403  mulcanpig  7404  addnidpig  7405  ltexpi  7406  ltapig  7407  ltmpig  7408  nnppipi  7412  enqdc  7430  archnqq  7486  prarloclemarch2  7488  enq0enq  7500  enq0sym  7501  enq0ref  7502  enq0tr  7503  nqnq0pi  7507  nqnq0  7510  addcmpblnq0  7512  mulcmpblnq0  7513  mulcanenq0ec  7514  addclnq0  7520  nqpnq0nq  7522  nqnq0a  7523  nqnq0m  7524  nq0m0r  7525  nq0a0  7526  nnanq0  7527  distrnq0  7528  mulcomnq0  7529  addassnq0lemcl  7530  addassnq0  7531  nq02m  7534  prarloclemlt  7562  prarloclemn  7568