Theorem pinn 7640

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7635	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3349	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3274	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3238	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211  ∅c0 3512  {csn 3694  ωcom 4717  Ncnpi 7603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-ni 7635

This theorem is referenced by:  pion  7641  piord  7642  elni2  7645  mulidpi  7649  ltsopi  7651  pitric  7652  pitri3or  7653  ltdcpi  7654  addclpi  7658  mulclpi  7659  addcompig  7660  addasspig  7661  mulcompig  7662  mulasspig  7663  distrpig  7664  addcanpig  7665  mulcanpig  7666  addnidpig  7667  ltexpi  7668  ltapig  7669  ltmpig  7670  nnppipi  7674  enqdc  7692  archnqq  7748  prarloclemarch2  7750  enq0enq  7762  enq0sym  7763  enq0ref  7764  enq0tr  7765  nqnq0pi  7769  nqnq0  7772  addcmpblnq0  7774  mulcmpblnq0  7775  mulcanenq0ec  7776  addclnq0  7782  nqpnq0nq  7784  nqnq0a  7785  nqnq0m  7786  nq0m0r  7787  nq0a0  7788  nnanq0  7789  distrnq0  7790  mulcomnq0  7791  addassnq0lemcl  7792  addassnq0  7793  nq02m  7796  prarloclemlt  7824  prarloclemn  7830