Theorem pinn 7371

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7366	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3286	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3212	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3176	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3151  ∅c0 3447  {csn 3619  ωcom 4623  Ncnpi 7334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3156  df-in 3160  df-ss 3167  df-ni 7366

This theorem is referenced by:  pion  7372  piord  7373  elni2  7376  mulidpi  7380  ltsopi  7382  pitric  7383  pitri3or  7384  ltdcpi  7385  addclpi  7389  mulclpi  7390  addcompig  7391  addasspig  7392  mulcompig  7393  mulasspig  7394  distrpig  7395  addcanpig  7396  mulcanpig  7397  addnidpig  7398  ltexpi  7399  ltapig  7400  ltmpig  7401  nnppipi  7405  enqdc  7423  archnqq  7479  prarloclemarch2  7481  enq0enq  7493  enq0sym  7494  enq0ref  7495  enq0tr  7496  nqnq0pi  7500  nqnq0  7503  addcmpblnq0  7505  mulcmpblnq0  7506  mulcanenq0ec  7507  addclnq0  7513  nqpnq0nq  7515  nqnq0a  7516  nqnq0m  7517  nq0m0r  7518  nq0a0  7519  nnanq0  7520  distrnq0  7521  mulcomnq0  7522  addassnq0lemcl  7523  addassnq0  7524  nq02m  7527  prarloclemlt  7555  prarloclemn  7561