Theorem pinn 7395

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7390	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3290	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3216	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154  ∅c0 3451  {csn 3623  ωcom 4627  Ncnpi 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-ni 7390

This theorem is referenced by:  pion  7396  piord  7397  elni2  7400  mulidpi  7404  ltsopi  7406  pitric  7407  pitri3or  7408  ltdcpi  7409  addclpi  7413  mulclpi  7414  addcompig  7415  addasspig  7416  mulcompig  7417  mulasspig  7418  distrpig  7419  addcanpig  7420  mulcanpig  7421  addnidpig  7422  ltexpi  7423  ltapig  7424  ltmpig  7425  nnppipi  7429  enqdc  7447  archnqq  7503  prarloclemarch2  7505  enq0enq  7517  enq0sym  7518  enq0ref  7519  enq0tr  7520  nqnq0pi  7524  nqnq0  7527  addcmpblnq0  7529  mulcmpblnq0  7530  mulcanenq0ec  7531  addclnq0  7537  nqpnq0nq  7539  nqnq0a  7540  nqnq0m  7541  nq0m0r  7542  nq0a0  7543  nnanq0  7544  distrnq0  7545  mulcomnq0  7546  addassnq0lemcl  7547  addassnq0  7548  nq02m  7551  prarloclemlt  7579  prarloclemn  7585