Theorem pinn 7682

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7677	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3355	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217  ∅c0 3520  {csn 3709  ωcom 4739  Ncnpi 7645

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-ni 7677

This theorem is used by:  pion  7683  piord  7684  elni2  7687  mulidpi  7691  ltsopi  7693  pitric  7694  pitri3or  7695  ltdcpi  7696  addclpi  7700  mulclpi  7701  addcompig  7702  addasspig  7703  mulcompig  7704  mulasspig  7705  distrpig  7706  addcanpig  7707  mulcanpig  7708  addnidpig  7709  ltexpi  7710  ltapig  7711  ltmpig  7712  nnppipi  7716  enqdc  7734  archnqq  7790  prarloclemarch2  7792  enq0enq  7804  enq0sym  7805  enq0ref  7806  enq0tr  7807  nqnq0pi  7811  nqnq0  7814  addcmpblnq0  7816  mulcmpblnq0  7817  mulcanenq0ec  7818  addclnq0  7824  nqpnq0nq  7826  nqnq0a  7827  nqnq0m  7828  nq0m0r  7829  nq0a0  7830  nnanq0  7831  distrnq0  7832  mulcomnq0  7833  addassnq0lemcl  7834  addassnq0  7835  nq02m  7838  prarloclemlt  7866  prarloclemn  7872