Theorem pinn 7529

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7524	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3333	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3259	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3223	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3197  ∅c0 3494  {csn 3669  ωcom 4688  Ncnpi 7492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-ni 7524

This theorem is referenced by:  pion  7530  piord  7531  elni2  7534  mulidpi  7538  ltsopi  7540  pitric  7541  pitri3or  7542  ltdcpi  7543  addclpi  7547  mulclpi  7548  addcompig  7549  addasspig  7550  mulcompig  7551  mulasspig  7552  distrpig  7553  addcanpig  7554  mulcanpig  7555  addnidpig  7556  ltexpi  7557  ltapig  7558  ltmpig  7559  nnppipi  7563  enqdc  7581  archnqq  7637  prarloclemarch2  7639  enq0enq  7651  enq0sym  7652  enq0ref  7653  enq0tr  7654  nqnq0pi  7658  nqnq0  7661  addcmpblnq0  7663  mulcmpblnq0  7664  mulcanenq0ec  7665  addclnq0  7671  nqpnq0nq  7673  nqnq0a  7674  nqnq0m  7675  nq0m0r  7676  nq0a0  7677  nnanq0  7678  distrnq0  7679  mulcomnq0  7680  addassnq0lemcl  7681  addassnq0  7682  nq02m  7685  prarloclemlt  7713  prarloclemn  7719