ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pinn GIF version

Theorem pinn 6771
Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
pinn (𝐴N𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn
StepHypRef Expression
1 df-ni 6766 . . 3 N = (ω ∖ {∅})
2 difss 3110 . . 3 (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
31, 2eqsstri 3040 . 2 N ⊆ ω
43sseli 3006 1 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  cdif 2981  c0 3269  {csn 3422  ωcom 4368  Ncnpi 6734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2614  df-dif 2986  df-in 2990  df-ss 2997  df-ni 6766
This theorem is referenced by:  pion  6772  piord  6773  elni2  6776  mulidpi  6780  ltsopi  6782  pitric  6783  pitri3or  6784  ltdcpi  6785  addclpi  6789  mulclpi  6790  addcompig  6791  addasspig  6792  mulcompig  6793  mulasspig  6794  distrpig  6795  addcanpig  6796  mulcanpig  6797  addnidpig  6798  ltexpi  6799  ltapig  6800  ltmpig  6801  nnppipi  6805  enqdc  6823  archnqq  6879  prarloclemarch2  6881  enq0enq  6893  enq0sym  6894  enq0ref  6895  enq0tr  6896  nqnq0pi  6900  nqnq0  6903  addcmpblnq0  6905  mulcmpblnq0  6906  mulcanenq0ec  6907  addclnq0  6913  nqpnq0nq  6915  nqnq0a  6916  nqnq0m  6917  nq0m0r  6918  nq0a0  6919  nnanq0  6920  distrnq0  6921  mulcomnq0  6922  addassnq0lemcl  6923  addassnq0  6924  nq02m  6927  prarloclemlt  6955  prarloclemn  6961
  Copyright terms: Public domain W3C validator