Theorem pinn 7303

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7298	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3261	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3187	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3151	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   ∖ cdif 3126  ∅c0 3422  {csn 3592  ωcom 4587  Ncnpi 7266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-ni 7298

This theorem is referenced by:  pion  7304  piord  7305  elni2  7308  mulidpi  7312  ltsopi  7314  pitric  7315  pitri3or  7316  ltdcpi  7317  addclpi  7321  mulclpi  7322  addcompig  7323  addasspig  7324  mulcompig  7325  mulasspig  7326  distrpig  7327  addcanpig  7328  mulcanpig  7329  addnidpig  7330  ltexpi  7331  ltapig  7332  ltmpig  7333  nnppipi  7337  enqdc  7355  archnqq  7411  prarloclemarch2  7413  enq0enq  7425  enq0sym  7426  enq0ref  7427  enq0tr  7428  nqnq0pi  7432  nqnq0  7435  addcmpblnq0  7437  mulcmpblnq0  7438  mulcanenq0ec  7439  addclnq0  7445  nqpnq0nq  7447  nqnq0a  7448  nqnq0m  7449  nq0m0r  7450  nq0a0  7451  nnanq0  7452  distrnq0  7453  mulcomnq0  7454  addassnq0lemcl  7455  addassnq0  7456  nq02m  7459  prarloclemlt  7487  prarloclemn  7493