ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pinn GIF version

Theorem pinn 7137
Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
pinn (𝐴N𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn
StepHypRef Expression
1 df-ni 7132 . . 3 N = (ω ∖ {∅})
2 difss 3203 . . 3 (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
31, 2eqsstri 3130 . 2 N ⊆ ω
43sseli 3094 1 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481  cdif 3069  c0 3364  {csn 3528  ωcom 4508  Ncnpi 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2689  df-dif 3074  df-in 3078  df-ss 3085  df-ni 7132
This theorem is referenced by:  pion  7138  piord  7139  elni2  7142  mulidpi  7146  ltsopi  7148  pitric  7149  pitri3or  7150  ltdcpi  7151  addclpi  7155  mulclpi  7156  addcompig  7157  addasspig  7158  mulcompig  7159  mulasspig  7160  distrpig  7161  addcanpig  7162  mulcanpig  7163  addnidpig  7164  ltexpi  7165  ltapig  7166  ltmpig  7167  nnppipi  7171  enqdc  7189  archnqq  7245  prarloclemarch2  7247  enq0enq  7259  enq0sym  7260  enq0ref  7261  enq0tr  7262  nqnq0pi  7266  nqnq0  7269  addcmpblnq0  7271  mulcmpblnq0  7272  mulcanenq0ec  7273  addclnq0  7279  nqpnq0nq  7281  nqnq0a  7282  nqnq0m  7283  nq0m0r  7284  nq0a0  7285  nnanq0  7286  distrnq0  7287  mulcomnq0  7288  addassnq0lemcl  7289  addassnq0  7290  nq02m  7293  prarloclemlt  7321  prarloclemn  7327
  Copyright terms: Public domain W3C validator