Theorem pinn 7308

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7303	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3262	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3188	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3152	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   ∖ cdif 3127  ∅c0 3423  {csn 3593  ωcom 4590  Ncnpi 7271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-dif 3132  df-in 3136  df-ss 3143  df-ni 7303

This theorem is referenced by:  pion  7309  piord  7310  elni2  7313  mulidpi  7317  ltsopi  7319  pitric  7320  pitri3or  7321  ltdcpi  7322  addclpi  7326  mulclpi  7327  addcompig  7328  addasspig  7329  mulcompig  7330  mulasspig  7331  distrpig  7332  addcanpig  7333  mulcanpig  7334  addnidpig  7335  ltexpi  7336  ltapig  7337  ltmpig  7338  nnppipi  7342  enqdc  7360  archnqq  7416  prarloclemarch2  7418  enq0enq  7430  enq0sym  7431  enq0ref  7432  enq0tr  7433  nqnq0pi  7437  nqnq0  7440  addcmpblnq0  7442  mulcmpblnq0  7443  mulcanenq0ec  7444  addclnq0  7450  nqpnq0nq  7452  nqnq0a  7453  nqnq0m  7454  nq0m0r  7455  nq0a0  7456  nnanq0  7457  distrnq0  7458  mulcomnq0  7459  addassnq0lemcl  7460  addassnq0  7461  nq02m  7464  prarloclemlt  7492  prarloclemn  7498