Theorem pinn 7393

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7388	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3290	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3216	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154  ∅c0 3451  {csn 3623  ωcom 4627  Ncnpi 7356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-ni 7388

This theorem is referenced by:  pion  7394  piord  7395  elni2  7398  mulidpi  7402  ltsopi  7404  pitric  7405  pitri3or  7406  ltdcpi  7407  addclpi  7411  mulclpi  7412  addcompig  7413  addasspig  7414  mulcompig  7415  mulasspig  7416  distrpig  7417  addcanpig  7418  mulcanpig  7419  addnidpig  7420  ltexpi  7421  ltapig  7422  ltmpig  7423  nnppipi  7427  enqdc  7445  archnqq  7501  prarloclemarch2  7503  enq0enq  7515  enq0sym  7516  enq0ref  7517  enq0tr  7518  nqnq0pi  7522  nqnq0  7525  addcmpblnq0  7527  mulcmpblnq0  7528  mulcanenq0ec  7529  addclnq0  7535  nqpnq0nq  7537  nqnq0a  7538  nqnq0m  7539  nq0m0r  7540  nq0a0  7541  nnanq0  7542  distrnq0  7543  mulcomnq0  7544  addassnq0lemcl  7545  addassnq0  7546  nq02m  7549  prarloclemlt  7577  prarloclemn  7583