Theorem pinn 7250

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7245	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 3248	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3174	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3138	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ∖ cdif 3113  ∅c0 3409  {csn 3576  ωcom 4567  Ncnpi 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-ni 7245

This theorem is referenced by:  pion  7251  piord  7252  elni2  7255  mulidpi  7259  ltsopi  7261  pitric  7262  pitri3or  7263  ltdcpi  7264  addclpi  7268  mulclpi  7269  addcompig  7270  addasspig  7271  mulcompig  7272  mulasspig  7273  distrpig  7274  addcanpig  7275  mulcanpig  7276  addnidpig  7277  ltexpi  7278  ltapig  7279  ltmpig  7280  nnppipi  7284  enqdc  7302  archnqq  7358  prarloclemarch2  7360  enq0enq  7372  enq0sym  7373  enq0ref  7374  enq0tr  7375  nqnq0pi  7379  nqnq0  7382  addcmpblnq0  7384  mulcmpblnq0  7385  mulcanenq0ec  7386  addclnq0  7392  nqpnq0nq  7394  nqnq0a  7395  nqnq0m  7396  nq0m0r  7397  nq0a0  7398  nnanq0  7399  distrnq0  7400  mulcomnq0  7401  addassnq0lemcl  7402  addassnq0  7403  nq02m  7406  prarloclemlt  7434  prarloclemn  7440