Theorem nqnq0pi 7379

Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4634	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))
2		vex 2729	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima2 4952	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4		elxp 4621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)))
5	4	anbi1i 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6		19.41vv 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
7	5, 6	bitr4i 186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N))
9		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
11	10	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13		enq0er 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
16	14, 15	ercl2 6514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17		elxp 4621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
18	16, 17	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
19		19.42vv 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
20	12, 18, 19	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
21	8, 11, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
22		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ ω)
23		elni 7249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
24	23	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ≠ ∅)
25	24	neneqd 2357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ N → ¬ 𝑧 = ∅)
26	25	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27		elni 7249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 ∈ N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
28	27	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ≠ ∅)
29	28	neneqd 2357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ N → ¬ 𝑣 = ∅)
30	29	ad2antll 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
31	26, 30	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32		pm4.56 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
33	31, 32	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
36		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
37	36	ad2antll 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnm00 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
39	35, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
40	33, 39	mtbird 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
41	40	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
42		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩))
43	42	biimpac 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
44	43	ad2ant2lr 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
45		enq0breq 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
46	34, 45	sylanl1 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
47	46	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢))
49	48	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅))
50	41, 49	mtbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅)
51		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
52		nnm00 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
53	51, 52	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
54	53	ad2ant2lr 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
55	54	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
56	50, 55	mtbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57		pm4.56 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
58	56, 57	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
59	58	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
60	59	neneqad 2415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61		elni 7249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
62	22, 60, 61	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
63		simprrr 530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
64		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65		opelxp 4634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))
66	64, 65	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
67	66	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
68	62, 63, 67	mpbir2and 934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
69	68	exlimivv 1884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
71	70	exlimivv 1884	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
72	7, 71	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
73	72	exlimiv 1586	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
74	3, 73	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
75	74	ssriv 3146	. . . 4 ⊢ ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76		ecinxp 6576	. . . 4 ⊢ ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
77	75, 76	mpan 421	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
78	1, 77	sylbir 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79		enq0enq 7372	. . 3 ⊢ ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80		eceq2 6538	. . 3 ⊢ ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
81	79, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
82	78, 81	eqtr4di 2217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  ωcom 4567   × cxp 4602   “ cima 4607  (class class class)co 5842   ·_o comu 6382   Er wer 6498  [cec 6499  Ncnpi 7213   ~_Q ceq 7220   ~_Q0 ceq0 7227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq 7288  df-enq0 7365

This theorem is referenced by:  nqnq0  7382  nqpnq0nq  7394  nqnq0a  7395  nqnq0m  7396  prarloclemlo  7435  prarloclemcalc  7443