Theorem nqnq0pi 7558

Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4709	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))
2		vex 2776	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima2 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4		elxp 4696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)))
5	4	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6		19.41vv 1928	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
7	5, 6	bitr4i 187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N))
9		breq1 4050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
11	10	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13		enq0er 7555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
16	14, 15	ercl2 6640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17		elxp 4696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
19		19.42vv 1936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
20	12, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
21	8, 11, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
22		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ ω)
23		elni 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
24	23	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ≠ ∅)
25	24	neneqd 2398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ N → ¬ 𝑧 = ∅)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27		elni 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 ∈ N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
28	27	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ≠ ∅)
29	28	neneqd 2398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ N → ¬ 𝑣 = ∅)
30	29	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
31	26, 30	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32		pm4.56 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
33	31, 32	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34		pinn 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
36		pinn 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
37	36	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnm00 6623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
40	33, 39	mtbird 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
41	40	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
42		breq2 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩))
43	42	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
44	43	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
45		enq0breq 7556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
46	34, 45	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
47	46	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢))
49	48	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅))
50	41, 49	mtbid 674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅)
51		pinn 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
52		nnm00 6623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
53	51, 52	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
54	53	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
55	54	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
56	50, 55	mtbid 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57		pm4.56 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
58	56, 57	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
59	58	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
60	59	neneqad 2456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61		elni 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
62	22, 60, 61	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
63		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
64		eleq1 2269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65		opelxp 4709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))
66	64, 65	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
67	66	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
68	62, 63, 67	mpbir2and 947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
69	68	exlimivv 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
71	70	exlimivv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
72	7, 71	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
73	72	exlimiv 1622	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
74	3, 73	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
75	74	ssriv 3198	. . . 4 ⊢ ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76		ecinxp 6704	. . . 4 ⊢ ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
77	75, 76	mpan 424	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
78	1, 77	sylbir 135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79		enq0enq 7551	. . 3 ⊢ ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80		eceq2 6664	. . 3 ⊢ ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
81	79, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
82	78, 81	eqtr4di 2257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ∩ cin 3166   ⊆ wss 3167  ∅c0 3461  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047  ωcom 4642   × cxp 4677   “ cima 4682  (class class class)co 5951   ·_o comu 6507   Er wer 6624  [cec 6625  Ncnpi 7392   ~_Q ceq 7399   ~_Q0 ceq0 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq 7467  df-enq0 7544

This theorem is referenced by:  nqnq0  7561  nqpnq0nq  7573  nqnq0a  7574  nqnq0m  7575  prarloclemlo  7614  prarloclemcalc  7622