Theorem nqnq0pi 7658

Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4755	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))
2		vex 2805	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima2 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4		elxp 4742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)))
5	4	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6		19.41vv 1952	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
7	5, 6	bitr4i 187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N))
9		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
11	10	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13		enq0er 7655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
16	14, 15	ercl2 6715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17		elxp 4742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
19		19.42vv 1960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
20	12, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
21	8, 11, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
22		simprrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ ω)
23		elni 7528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
24	23	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ≠ ∅)
25	24	neneqd 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ N → ¬ 𝑧 = ∅)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27		elni 7528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 ∈ N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
28	27	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ≠ ∅)
29	28	neneqd 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ N → ¬ 𝑣 = ∅)
30	29	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
31	26, 30	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32		pm4.56 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
33	31, 32	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34		pinn 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
36		pinn 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
37	36	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnm00 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
40	33, 39	mtbird 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
41	40	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
42		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩))
43	42	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
44	43	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
45		enq0breq 7656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
46	34, 45	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
47	46	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢))
49	48	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅))
50	41, 49	mtbid 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅)
51		pinn 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
52		nnm00 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
53	51, 52	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
54	53	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
55	54	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
56	50, 55	mtbid 678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57		pm4.56 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
58	56, 57	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
59	58	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
60	59	neneqad 2481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61		elni 7528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
62	22, 60, 61	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
63		simprrr 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
64		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65		opelxp 4755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))
66	64, 65	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
67	66	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
68	62, 63, 67	mpbir2and 952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
69	68	exlimivv 1945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
71	70	exlimivv 1945	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
72	7, 71	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
73	72	exlimiv 1646	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
74	3, 73	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
75	74	ssriv 3231	. . . 4 ⊢ ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76		ecinxp 6779	. . . 4 ⊢ ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
77	75, 76	mpan 424	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
78	1, 77	sylbir 135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79		enq0enq 7651	. . 3 ⊢ ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80		eceq2 6739	. . 3 ⊢ ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
81	79, 80	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
82	78, 81	eqtr4di 2282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ωcom 4688   × cxp 4723   “ cima 4728  (class class class)co 6018   ·_o comu 6580   Er wer 6699  [cec 6700  Ncnpi 7492   ~_Q ceq 7499   ~_Q0 ceq0 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-ni 7524  df-mi 7526  df-enq 7567  df-enq0 7644

This theorem is referenced by:  nqnq0  7661  nqpnq0nq  7673  nqnq0a  7674  nqnq0m  7675  prarloclemlo  7714  prarloclemcalc  7722