Theorem nqnq0pi 7147

Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0pi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4507	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))
2		vex 2644	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima2 4823	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4		elxp 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)))
5	4	anbi1i 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6		19.41vv 1842	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧∃𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
7	5, 6	bitr4i 186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8		simplr 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N))
9		breq1 3878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
10	9	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
11	10	biimpa 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13		enq0er 7144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
16	14, 15	ercl2 6372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17		elxp 4494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
18	16, 17	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)))
19		19.42vv 1848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢∃𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
20	12, 18, 19	sylanbrc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
21	8, 11, 20	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))))
22		simprrl 509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ ω)
23		elni 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
24	23	simprbi 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ≠ ∅)
25	24	neneqd 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ N → ¬ 𝑧 = ∅)
26	25	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27		elni 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 ∈ N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
28	27	simprbi 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ≠ ∅)
29	28	neneqd 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ N → ¬ 𝑣 = ∅)
30	29	ad2antll 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
31	26, 30	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32		pm4.56 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
33	31, 32	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34		pinn 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
35	34	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
36		pinn 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
37	36	ad2antll 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnm00 6355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
39	35, 37, 38	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
40	33, 39	mtbird 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
41	40	ad2ant2rl 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
42		breq2 3879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩))
43	42	biimpac 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ∧ 𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
44	43	ad2ant2lr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩)
45		enq0breq 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
46	34, 45	sylanl1 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
47	46	ad2ant2rl 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢))
49	48	eqeq1d 2108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅))
50	41, 49	mtbid 638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅)
51		pinn 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
52		nnm00 6355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
53	51, 52	sylan 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
54	53	ad2ant2lr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
55	54	ad2ant2rl 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
56	50, 55	mtbid 638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57		pm4.56 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
58	56, 57	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
59	58	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
60	59	neneqad 2346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61		elni 7017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
62	22, 60, 61	sylanbrc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
63		simprrr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
64		eleq1 2162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65		opelxp 4507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))
66	64, 65	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
67	66	ad2antrl 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
68	62, 63, 67	mpbir2and 896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
69	68	exlimivv 1835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
70	21, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
71	70	exlimivv 1835	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
72	7, 71	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
73	72	exlimiv 1545	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
74	3, 73	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
75	74	ssriv 3051	. . . 4 ⊢ ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76		ecinxp 6434	. . . 4 ⊢ ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
77	75, 76	mpan 418	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
78	1, 77	sylbir 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79		enq0enq 7140	. . 3 ⊢ ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80		eceq2 6396	. . 3 ⊢ ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
81	79, 80	ax-mp 7	. 2 ⊢ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
82	78, 81	syl6eqr 2150	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 670   = wceq 1299  ∃wex 1436   ∈ wcel 1448   ≠ wne 2267   ∩ cin 3020   ⊆ wss 3021  ∅c0 3310  ⟨cop 3477   class class class wbr 3875  ωcom 4442   × cxp 4475   “ cima 4480  (class class class)co 5706   ·_o comu 6241   Er wer 6356  [cec 6357  Ncnpi 6981   ~_Q ceq 6988   ~_Q0 ceq0 6995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-ni 7013  df-mi 7015  df-enq 7056  df-enq0 7133

This theorem is referenced by:  nqnq0  7150  nqpnq0nq  7162  nqnq0a  7163  nqnq0m  7164  prarloclemlo  7203  prarloclemcalc  7211