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Theorem nqnq0pi 7269
Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0pi ((𝐴N𝐵N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4576 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴N𝐵N))
2 vex 2692 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
32elima2 4894 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4 elxp 4563 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)))
54anbi1i 454 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6 19.41vv 1876 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
75, 6bitr4i 186 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧N𝑤N))
9 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
109adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
1110biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13 enq0er 7266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q0 Er (ω × N)
1413a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
1614, 15ercl2 6449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17 elxp 4563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)))
1816, 17sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)))
19 19.42vv 1884 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) ↔ (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))))
2012, 18, 19sylanbrc 414 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))))
218, 11, 20syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))))
22 simprrl 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑢 ∈ ω)
23 elni 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
2423simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧N𝑧 ≠ ∅)
2524neneqd 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧N → ¬ 𝑧 = ∅)
2625ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27 elni 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
2827simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣N𝑣 ≠ ∅)
2928neneqd 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣N → ¬ 𝑣 = ∅)
3029ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
3126, 30jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32 pm4.56 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34 pinn 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
3534ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → 𝑧 ∈ ω)
36 pinn 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣N𝑣 ∈ ω)
3736ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → 𝑣 ∈ ω)
38 nnm00 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
3935, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
4033, 39mtbird 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
4140ad2ant2rl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
42 breq2 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩))
4342biimpac 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩)
4443ad2ant2lr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩)
45 enq0breq 7267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
4634, 45sylanl1 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
4746ad2ant2rl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
4844, 47mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢))
4948eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅))
5041, 49mtbid 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅)
51 pinn 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
52 nnm00 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5351, 52sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤N𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5453ad2ant2lr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5554ad2ant2rl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5650, 55mtbid 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57 pm4.56 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
5856, 57sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
5958simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
6059neneqad 2388 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61 elni 7139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
6222, 60, 61sylanbrc 414 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑢N)
63 simprrr 530 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑣N)
64 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65 opelxp 4576 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢N𝑣N))
6664, 65syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢N𝑣N)))
6766ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢N𝑣N)))
6862, 63, 67mpbir2and 929 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
6968exlimivv 1869 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
7021, 69syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
7170exlimivv 1869 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
727, 71sylbi 120 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
7372exlimiv 1578 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
743, 73sylbi 120 . . . . 5 (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
7574ssriv 3105 . . . 4 ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76 ecinxp 6511 . . . 4 ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
7775, 76mpan 421 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
781, 77sylbir 134 . 2 ((𝐴N𝐵N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79 enq0enq 7262 . . 3 ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80 eceq2 6473 . . 3 ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
8179, 80ax-mp 5 . 2 [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
8278, 81eqtr4di 2191 1 ((𝐴N𝐵N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wex 1469  wcel 1481  wne 2309  cin 3074  wss 3075  c0 3367  cop 3534   class class class wbr 3936  ωcom 4511   × cxp 4544  cima 4549  (class class class)co 5781   ·o comu 6318   Er wer 6433  [cec 6434  Ncnpi 7103   ~Q ceq 7110   ~Q0 ceq0 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-ni 7135  df-mi 7137  df-enq 7178  df-enq0 7255
This theorem is referenced by:  nqnq0  7272  nqpnq0nq  7284  nqnq0a  7285  nqnq0m  7286  prarloclemlo  7325  prarloclemcalc  7333
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