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Theorem nqnq0pi 7428
Description: A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0pi ((𝐴N𝐵N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )

Proof of Theorem nqnq0pi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4653 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝐴N𝐵N))
2 vex 2740 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
32elima2 4972 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
4 elxp 4640 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (N × N) ↔ ∃𝑧𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)))
54anbi1i 458 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
6 19.41vv 1903 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ (∃𝑧𝑤(𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
75, 6bitr4i 187 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦))
8 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → (𝑧N𝑤N))
9 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
109adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
1110biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦))
13 enq0er 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q0 Er (ω × N)
1413a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ~Q0 Er (ω × N))
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦)
1614, 15ercl2 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (ω × N))
17 elxp 4640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ω × N) ↔ ∃𝑢𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)))
1816, 17sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)))
19 19.42vv 1911 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) ↔ (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ ∃𝑢𝑣(𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))))
2012, 18, 19sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) → ∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))))
218, 11, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → ∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))))
22 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑢 ∈ ω)
23 elni 7298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≠ ∅))
2423simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧N𝑧 ≠ ∅)
2524neneqd 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧N → ¬ 𝑧 = ∅)
2625ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ 𝑧 = ∅)
27 elni 7298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣N ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑣 ≠ ∅))
2827simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣N𝑣 ≠ ∅)
2928neneqd 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣N → ¬ 𝑣 = ∅)
3029ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ 𝑣 = ∅)
3126, 30jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → (¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅))
32 pm4.56 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑧 = ∅ ∧ ¬ 𝑣 = ∅) ↔ ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
3331, 32sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅))
34 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → 𝑧 ∈ ω)
36 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣N𝑣 ∈ ω)
3736ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → 𝑣 ∈ ω)
38 nnm00 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
3935, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑧 = ∅ ∨ 𝑣 = ∅)))
4033, 39mtbird 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
4140ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ (𝑧 ·o 𝑣) = ∅)
42 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦 ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩))
4342biimpac 298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩)
4443ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩)
45 enq0breq 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
4634, 45sylanl1 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
4746ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢)))
4844, 47mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (𝑧 ·o 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑢))
4948eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ((𝑧 ·o 𝑣) = ∅ ↔ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅))
5041, 49mtbid 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ (𝑤 ·o 𝑢) = ∅)
51 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
52 nnm00 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5351, 52sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤N𝑢 ∈ ω) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5453ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5554ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ((𝑤 ·o 𝑢) = ∅ ↔ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅)))
5650, 55mtbid 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
57 pm4.56 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅) ↔ ¬ (𝑤 = ∅ ∨ 𝑢 = ∅))
5856, 57sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (¬ 𝑤 = ∅ ∧ ¬ 𝑢 = ∅))
5958simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → ¬ 𝑢 = ∅)
6059neneqad 2426 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑢 ≠ ∅)
61 elni 7298 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢N ↔ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑢 ≠ ∅))
6222, 60, 61sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑢N)
63 simprrr 540 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑣N)
64 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N)))
65 opelxp 4653 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (N × N) ↔ (𝑢N𝑣N))
6664, 65bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢N𝑣N)))
6766ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → (𝑦 ∈ (N × N) ↔ (𝑢N𝑣N)))
6862, 63, 67mpbir2and 944 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
6968exlimivv 1896 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢𝑣(((𝑧N𝑤N) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ~Q0 𝑦) ∧ (𝑦 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣N))) → 𝑦 ∈ (N × N))
7021, 69syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
7170exlimivv 1896 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧N𝑤N)) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
727, 71sylbi 121 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
7372exlimiv 1598 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑥 ~Q0 𝑦) → 𝑦 ∈ (N × N))
743, 73sylbi 121 . . . . 5 (𝑦 ∈ ( ~Q0 “ (N × N)) → 𝑦 ∈ (N × N))
7574ssriv 3159 . . . 4 ( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N)
76 ecinxp 6604 . . . 4 ((( ~Q0 “ (N × N)) ⊆ (N × N) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N)) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
7775, 76mpan 424 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
781, 77sylbir 135 . 2 ((𝐴N𝐵N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
79 enq0enq 7421 . . 3 ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
80 eceq2 6566 . . 3 ( ~Q = ( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N))))
8179, 80ax-mp 5 . 2 [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩]( ~Q0 ∩ ((N × N) × (N × N)))
8278, 81eqtr4di 2228 1 ((𝐴N𝐵N) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wne 2347  cin 3128  wss 3129  c0 3422  cop 3594   class class class wbr 4000  ωcom 4586   × cxp 4621  cima 4626  (class class class)co 5869   ·o comu 6409   Er wer 6526  [cec 6527  Ncnpi 7262   ~Q ceq 7269   ~Q0 ceq0 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-ni 7294  df-mi 7296  df-enq 7337  df-enq0 7414
This theorem is referenced by:  nqnq0  7431  nqpnq0nq  7443  nqnq0a  7444  nqnq0m  7445  prarloclemlo  7484  prarloclemcalc  7492
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