ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul31d GIF version

Theorem mul31d 8124
Description: Commutative/associative law. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
addcomd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
mul12d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul31d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด))

Proof of Theorem mul31d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 addcomd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mul12d.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 mul31 8101 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด))
51, 2, 3, 4syl3anc 1248 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822   ยท cmul 7829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-mulcl 7922  ax-mulcom 7925  ax-mulass 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator