ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul32d GIF version

Theorem mul32d 7927
Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
mul12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul32d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcomd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 mul12d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 mul32 7904 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1216 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7630   · cmul 7637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-mulcom 7733  ax-mulass 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777
This theorem is referenced by:  conjmulap  8501  modqmul1  10162  binom3  10421  bernneq  10424  bcm1k  10518  bcp1n  10519  resqrexlemcalc1  10798  resqrexlemnm  10802  reccn2ap  11094  binomlem  11264  tanaddap  11457  eirraplem  11494  dvds2ln  11537  divgcdcoprm0  11793
  Copyright terms: Public domain W3C validator