Theorem mul4d 8475

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mul12d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 8452	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  ℂcc 8171   · cmul 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-mulcl 8271  ax-mulcom 8274  ax-mulass 8276

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082

This theorem is referenced by:  mulreim  8926  remullem  11619  absmul  11818  cosadd  12487  tanaddap  12489  eulerthlema  12991  mul4sqlem  13155  plymullem1  15832  lgsdir  16137  lgsdi  16139  lgsquad2lem1  16183