Theorem mul4d 8030

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mul12d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		mul4 8007	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1221	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5824  ℂcc 7730   · cmul 7737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-mulcl 7830  ax-mulcom 7833  ax-mulass 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827

This theorem is referenced by:  mulreim  8479  remullem  10771  absmul  10969  cosadd  11634  tanaddap  11636  eulerthlema  12104