Theorem nzrnz 14316

Description: One and zero are different in a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnzr.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nzrnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem nzrnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnzr.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		isnzr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 14315	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
4	3	simprbi 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ‘cfv 5351  0_gc0g 13458  1_rcur 14092  Ringcrg 14129  NzRingcnzr 14313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359  df-nzr 14314

This theorem is referenced by:  nzrunit  14322  lringnz  14329  subrgnzr  14376  rrgnz  14403