Theorem subrgnzr 14249

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 14231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4, 5	nzrnz 14189	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	1, 4	subrg1 14238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
10	1, 5	subrg0 14235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
11	10	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
12	7, 9, 11	3netr3d 2432	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
13		eqid 2229	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
14		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	13, 14	isnzr 14188	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
16	3, 12, 15	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↾_s cress 13076  0_gc0g 13332  1_rcur 13965  Ringcrg 14002  NzRingcnzr 14186  SubRingcsubrg 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-subg 13750  df-mgp 13927  df-ur 13966  df-ring 14004  df-nzr 14187  df-subrg 14226

This theorem is referenced by: (None)