Theorem subrgnzr 14410

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 14392	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4, 5	nzrnz 14349	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	1, 4	subrg1 14399	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
10	1, 5	subrg0 14396	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
11	10	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
12	7, 9, 11	3netr3d 2446	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
13		eqid 2234	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
14		eqid 2234	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
15	13, 14	isnzr 14348	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
16	3, 12, 15	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ↾_s cress 13234  0_gc0g 13490  1_rcur 14124  Ringcrg 14161  NzRingcnzr 14346  SubRingcsubrg 14385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-subg 13908  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-ring 14163  df-nzr 14347  df-subrg 14387

This theorem is referenced by: (None)