Theorem nzrunit 13892

Description: A unit is nonzero in any nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzrunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nzrunit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nzrunit	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ 0 )

Proof of Theorem nzrunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		nzrunit.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 13886	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
4		nzrring 13887	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		nzrunit.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	5, 2, 1	0unit 13833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
7	6	necon3bbid 2415	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
9	3, 8	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝑈)
10		eleq1 2267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ 0 ∈ 𝑈))
11	10	notbid 668	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (¬ 𝐴 ∈ 𝑈 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑈))
12	9, 11	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	12	necon2ad 2432	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ≠ 0 ))
14	13	imp 124	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ‘cfv 5270  0_gc0g 13030  1_rcur 13663  Ringcrg 13700  Unitcui 13791  NzRingcnzr 13883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-tpos 6330  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-cmn 13564  df-abl 13565  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-srg 13668  df-ring 13702  df-oppr 13772  df-dvdsr 13793  df-unit 13794  df-invr 13825  df-nzr 13884

This theorem is referenced by: (None)