Theorem pwel 4173

Description: Membership of a power class. Exercise 10 of [Enderton] p. 26. (Contributed by NM, 13-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
pwel	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 𝒫 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem pwel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
2		sspwb 4171	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵)
3	1, 2	sylib 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵)
4		pwexg 4136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		elpwg 3547	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 𝒫 ∪ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 𝒫 ∪ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐵))
7	3, 6	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 𝒫 ∪ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709   ⊆ wss 3098  𝒫 cpw 3539  ∪ cuni 3768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-uni 3769

This theorem is referenced by: (None)