Theorem elun 3370

Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elun	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
5		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	5, 6	orbi12d 805	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-un 3224	. . 3 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 4, 9	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is used by:  uneqri  3371  uncom  3373  uneq1  3376  unass  3386  ssun1  3392  unss1  3398  ssequn1  3399  unss  3403  rexun  3409  ralunb  3410  unssdif  3466  unssin  3470  inssun  3471  indi  3478  undi  3479  difundi  3483  difindiss  3485  undif3ss  3492  symdifxor  3497  rabun2  3512  reuun2  3516  undif4  3587  ssundifim  3611  dcun  3637  dfpr2  3728  eltpg  3754  pwprss  3931  pwtpss  3932  uniun  3954  intun  4001  iunun  4091  iunxun  4092  iinuniss  4095  brun  4183  undifexmid  4332  exmidundif  4345  exmidundifim  4346  exmid1stab  4347  pwunss  4430  elsuci  4550  elsucg  4551  elsuc2g  4552  ordsucim  4649  sucprcreg  4698  opthprc  4828  xpundi  4833  xpundir  4834  funun  5425  mptun  5518  unpreima  5836  reldmtpos  6528  dftpos4  6538  tpostpos  6539  elssdc  7214  onunsnss  7229  unfidisj  7234  undifdcss  7235  fidcenumlemrks  7276  djulclb  7402  eldju  7415  eldju2ndl  7419  eldju2ndr  7420  ctssdccl  7458  pw1nel3  7597  sucpw1nel3  7599  elnn0  9577  un0addcl  9608  un0mulcl  9609  elxnn0  9644  ltxr  10195  elxr  10196  fzsplit2  10473  fzsplit3  10476  elfzp1  10497  uzsplit  10517  elfzp12  10524  fz01or  10536  fzosplit  10604  fzouzsplit  10606  elfzonlteqm1  10646  fzosplitsni  10672  hashinfuni  11239  hashennnuni  11241  hashunlem  11267  hashf1lem2  11309  zfz1isolemiso  11314  ccatrn  11400  cats1un  11516  summodclem3  12173  fsumsplit  12200  fsumsplitsn  12203  sumsplitdc  12225  fprodsplitdc  12389  fprodsplit  12390  fprodunsn  12397  fprodsplitsn  12426  nnnn0modprm0  13064  prm23lt5  13072  gsummptfidmsplit  14255  gsumunsnfd  14260  gsumfsum  15033  reopnap  15784  plyaddlem1  15985  plymullem1  15986  plycoeid3  15995  plycj  15999  ppinprm  16272  chtnprm  16274  lgsdir2  16369  2lgslem3  16437  2lgsoddprmlem3  16447  vtxdfifiun  16755  djulclALT  17046  djurclALT  17047  bj-charfun  17050  bj-nntrans  17194  bj-nnelirr  17196  idjudju  17264