Theorem elun 3370

Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elun	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
5		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	5, 6	orbi12d 805	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-un 3224	. . 3 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 4, 9	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is used by:  uneqri  3371  uncom  3373  uneq1  3376  unass  3386  ssun1  3392  unss1  3398  ssequn1  3399  unss  3403  rexun  3409  ralunb  3410  unssdif  3466  unssin  3470  inssun  3471  indi  3478  undi  3479  difundi  3483  difindiss  3485  undif3ss  3492  symdifxor  3497  rabun2  3512  reuun2  3516  undif4  3587  ssundifim  3611  dcun  3637  dfpr2  3728  eltpg  3754  pwprss  3931  pwtpss  3932  uniun  3954  intun  4001  iunun  4091  iunxun  4092  iinuniss  4095  brun  4182  undifexmid  4330  exmidundif  4343  exmidundifim  4344  exmid1stab  4345  pwunss  4428  elsuci  4548  elsucg  4549  elsuc2g  4550  ordsucim  4647  sucprcreg  4696  opthprc  4826  xpundi  4831  xpundir  4832  funun  5422  mptun  5515  unpreima  5833  reldmtpos  6524  dftpos4  6534  tpostpos  6535  elssdc  7209  onunsnss  7224  unfidisj  7229  undifdcss  7230  fidcenumlemrks  7270  djulclb  7395  eldju  7408  eldju2ndl  7412  eldju2ndr  7413  ctssdccl  7451  pw1nel3  7590  sucpw1nel3  7592  elnn0  9567  un0addcl  9598  un0mulcl  9599  elxnn0  9634  ltxr  10179  elxr  10180  fzsplit2  10457  fzsplit3  10460  elfzp1  10481  uzsplit  10501  elfzp12  10508  fz01or  10520  fzosplit  10588  fzouzsplit  10590  elfzonlteqm1  10630  fzosplitsni  10656  hashinfuni  11218  hashennnuni  11220  hashunlem  11246  hashf1lem2  11288  zfz1isolemiso  11293  ccatrn  11379  cats1un  11495  summodclem3  12149  fsumsplit  12176  fsumsplitsn  12179  sumsplitdc  12201  fprodsplitdc  12365  fprodsplit  12366  fprodunsn  12373  fprodsplitsn  12402  nnnn0modprm0  13036  prm23lt5  13044  gsumfsum  14925  reopnap  15649  plyaddlem1  15850  plymullem1  15851  plycoeid3  15860  plycj  15864  lgsdir2  16164  2lgslem3  16232  2lgsoddprmlem3  16242  vtxdfifiun  16550  djulclALT  16841  djurclALT  16842  bj-charfun  16845  bj-nntrans  16989  bj-nnelirr  16991