Theorem elun 3212

Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elun	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		elex 2692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	jaoi 705	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
5		eleq1 2200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		eleq1 2200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	5, 6	orbi12d 782	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-un 3070	. . 3 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2826	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 4, 9	pm5.21nii 693	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∪ cun 3064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070

This theorem is referenced by:  uneqri  3213  uncom  3215  uneq1  3218  unass  3228  ssun1  3234  unss1  3240  ssequn1  3241  unss  3245  rexun  3251  ralunb  3252  unssdif  3306  unssin  3310  inssun  3311  indi  3318  undi  3319  difundi  3323  difindiss  3325  undif3ss  3332  symdifxor  3337  rabun2  3350  reuun2  3354  undif4  3420  ssundifim  3441  dcun  3468  dfpr2  3541  eltpg  3564  pwprss  3727  pwtpss  3728  uniun  3750  intun  3797  iunun  3886  iunxun  3887  iinuniss  3890  brun  3974  undifexmid  4112  exmidundif  4124  exmidundifim  4125  pwunss  4200  elsuci  4320  elsucg  4321  elsuc2g  4322  ordsucim  4411  sucprcreg  4459  opthprc  4585  xpundi  4590  xpundir  4591  funun  5162  mptun  5249  unpreima  5538  reldmtpos  6143  dftpos4  6153  tpostpos  6154  onunsnss  6798  unfidisj  6803  undifdcss  6804  fidcenumlemrks  6834  djulclb  6933  eldju  6946  eldju2ndl  6950  eldju2ndr  6951  ctssdccl  6989  elnn0  8972  un0addcl  9003  un0mulcl  9004  elxnn0  9035  ltxr  9555  elxr  9556  fzsplit2  9823  elfzp1  9845  uzsplit  9865  elfzp12  9872  fz01or  9884  fzosplit  9947  fzouzsplit  9949  elfzonlteqm1  9980  fzosplitsni  10005  hashinfuni  10516  hashennnuni  10518  hashunlem  10543  zfz1isolemiso  10575  summodclem3  11142  fsumsplit  11169  fsumsplitsn  11172  sumsplitdc  11194  reopnap  12696  djulclALT  12997  djurclALT  12998  bj-nntrans  13138  bj-nnelirr  13140  exmid1stab  13184