Theorem reuun1 3281

Description: Transfer uniqueness to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun1	⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)(𝜑 ∨ 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem reuun1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3163	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		orc 668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∨ 𝜓))
3	2	rgenw 2430	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → (𝜑 ∨ 𝜓))
4		reuss2 3279	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → (𝜑 ∨ 𝜓))) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)(𝜑 ∨ 𝜓))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
5	1, 3, 4	mpanl12 427	1 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)(𝜑 ∨ 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 664  ∀wral 2359  ∃wrex 2360  ∃!wreu 2361   ∪ cun 2997   ⊆ wss 2999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012

This theorem is referenced by: (None)