Theorem ssrab3 3334

Description: Subclass relation for a restricted class abstraction. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrab3.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
ssrab3	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ssrab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab3.1	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}
2		ssrab2 3333	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3280	1 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  {crab 2532   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  if0ss  3642  pcprecl  13090  pcprendvds  13091  4sqlem13m  13204  4sqlem14  13205  4sqlem17  13208  ballotfilemfmpn  13285  ballotfilemafi  13289  ballotfilembfi  13290  ballotfilemth  13332  nmzsubg  14064  nmznsg  14067  conjnmz  14133  conjnmzb  14134  nzrring  14541  lringnzr  14551  rrgeq0  14624  rrgss  14626  psrbagconf1o  15116  mpodvdsmulf1o  16206  fsumdvdsmul  16207  lgsfcl2  16247