Theorem eqsstri 3202

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstr.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqsstr.2	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqsstri	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶

Proof of Theorem eqsstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstr.2	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶
2		eqsstr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3	2	sseq1i 3196	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1364   ⊆ wss 3144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-in 3150  df-ss 3157

This theorem is referenced by:  eqsstrri  3203  ssrab2  3255  ssrab3  3256  rabssab  3258  difdifdirss  3522  ifssun  3563  opabss  4082  brab2ga  4719  relopabi  4770  dmopabss  4857  resss  4949  relres  4953  exse2  5020  rnin  5056  rnxpss  5078  cnvcnvss  5101  dmmptss  5143  cocnvss  5172  fnres  5351  resasplitss  5414  fabexg  5422  f0  5425  ffvresb  5699  isoini2  5840  dmoprabss  5977  elmpocl  6090  tposssxp  6273  dftpos4  6287  smores  6316  smores2  6318  iordsmo  6321  swoer  6586  swoord1  6587  swoord2  6588  ecss  6601  ecopovsym  6656  ecopovtrn  6657  ecopover  6658  ecopovsymg  6659  ecopovtrng  6660  ecopoverg  6661  sbthlem7  6991  caserel  7115  ctssdccl  7139  pw1on  7254  pinn  7337  niex  7340  ltrelpi  7352  dmaddpi  7353  dmmulpi  7354  enqex  7388  ltrelnq  7393  enq0ex  7467  ltrelpr  7533  enrex  7765  ltrelsr  7766  ltrelre  7861  axaddf  7896  axmulf  7897  ltrelxr  8047  lerelxr  8049  nn0ssre  9209  nn0ssz  9300  rpre  9689  fz1ssfz0  10146  cau3  11155  fsum3cvg3  11435  isumshft  11529  explecnv  11544  clim2prod  11578  ntrivcvgap  11587  dvdszrcl  11830  dvdsflip  11888  infssuzcldc  11983  phimullem  12256  eulerthlemfi  12259  eulerthlemrprm  12260  eulerthlema  12261  eulerthlemh  12262  eulerthlemth  12263  4sqlem1  12419  4sqlem19  12440  ctiunctlemuom  12486  structcnvcnv  12527  fvsetsid  12545  strleun  12613  dmtopon  13975  lmfval  14144  lmbrf  14167  cnconst2  14185  txuni2  14208  xmeter  14388  ivthinclemex  14572  dvrecap  14629  2sqlem7  14921