Theorem pcprecl 13068

Description: Closure of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprecl	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
2		pclem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
3	2	ssrab3 3334	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ0
4		nn0ssz 9662	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
5	3, 4	sstri 3257	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℤ
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
7	2	pclemdc 13067	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
8	2	pclemub 13066	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
9	2	pclem0 13065	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ 𝐴)
10		elex2 2838	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
12	6, 7, 8, 11	suprzcl2dc 10674	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
13	1, 12	eqeltrid 2325	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
14		oveq2 6093	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑃↑𝑧) = (𝑃↑𝑆))
15	14	breq1d 4140	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑃↑𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
16		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑧))
17	16	breq1d 4140	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ 𝑁))
18	17	cbvrabv 2820	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ 𝑁}
19	2, 18	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ 𝑁}
20	15, 19	elrab2 2985	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
21	13, 20	sylib 122	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  supcsup 7322  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360  2c2 9355  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ↑cexp 10975   ∥ cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555

This theorem is used by:  pcprendvds  13069  pcprendvds2  13070  pcpre1  13071  pcpremul  13072  pceulem  13073  pceu  13074  pczpre  13076  pczcl  13077  pczdvds  13093