Theorem pcprendvds 12290

Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprendvds	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
2		pclem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
3	1, 2	pcprecl 12289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
4	3	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 9230	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℝ)
6	5	ltp1d 8887	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 < (𝑆 + 1))
7	4	nn0zd 9373	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 9378	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 1) ∈ ℤ)
9		zltnle 9299	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝑆 + 1) ∈ ℤ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
11	6, 10	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
12		peano2nn0 9216	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
13		oveq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 1) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
14	13	breq1d 4014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 1) → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
15		oveq2 5883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
16	15	breq1d 4014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
17	16	cbvrabv 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
18	1, 17	eqtri 2198	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
19	14, 18	elrab2 2897	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
20	19	simplbi2 385	. . . 4 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
21	4, 12, 20	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
22	1	ssrab3 3242	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ0
23		nn0ssz 9271	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
24	22, 23	sstri 3165	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℤ
25	24	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
26	1	pclemdc 12288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28	1	pclemub 12287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
29	28	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
30		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴)
31	25, 27, 29, 30	suprzubdc 11953	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32	31, 2	breqtrrdi 4046	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
33	32	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
34	21, 33	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
35	11, 34	mtod 663	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  supcsup 6981  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   ≤ cle 7993  2c2 8970  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ↑cexp 10519   ∥ cdvds 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795

This theorem is referenced by:  pcprendvds2  12291  pczndvds  12315