Theorem brparts 39551

Description: Binary partitions relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brparts	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))

Proof of Theorem brparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-parts 39545	. 2 ⊢ Parts = ( DomainQss ↾ Disjs )
2	1	eqres 39017	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   DomainQss cdmqss 38883   Disjs cdisjs 38895   Parts cparts 38900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-res 5672  df-parts 39545

This theorem is used by:  brparts2  39552  brpartspart  39553