Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brpartspart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brpartspart 37166
Description: Binary partition and the partition predicate are the same if 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
brpartspart ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴𝑅 Part 𝐴))

Proof of Theorem brpartspart
StepHypRef Expression
1 eldisjsdisj 37120 . . . 4 (𝑅𝑊 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
21adantl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3 brdmqssqs 37040 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴𝑅 DomainQs 𝐴))
42, 3anbi12d 631 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( Disj 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
5 brparts 37164 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
65adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
7 df-part 37159 . . 3 (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴))
87a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
94, 6, 83bitr4d 310 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴𝑅 Part 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103   DomainQss cdmqss 36588   DomainQs wdmqs 36589   Disjs cdisjs 36598   Disj wdisjALTV 36599   Parts cparts 36603   Part wpart 36604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8608  df-qs 8612  df-coss 36804  df-rels 36878  df-ssr 36891  df-cnvrefs 36918  df-cnvrefrels 36919  df-cnvrefrel 36920  df-dmqss 37031  df-dmqs 37032  df-disjss 37096  df-disjs 37097  df-disjALTV 37098  df-parts 37158  df-part 37159
This theorem is referenced by:  mpets2  37234  pets  37245
  Copyright terms: Public domain W3C validator