Theorem brpartspart 39188

Description: Binary partition and the partition predicate are the same if 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brpartspart	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ 𝑅 Part 𝐴))

Proof of Theorem brpartspart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjsdisj 39136	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		brdmqssqs 39043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
4	2, 3	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
5		brparts 39186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
7		df-part 39181	. . 3 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
9	4, 6, 8	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ 𝑅 Part 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   DomainQss cdmqss 38518   DomainQs wdmqs 38519   Disjs cdisjs 38530   Disj wdisjALTV 38531   Parts cparts 38535   Part wpart 38536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8636  df-qs 8640  df-rels 38752  df-coss 38813  df-ssr 38890  df-cnvrefs 38917  df-cnvrefrels 38918  df-cnvrefrel 38919  df-dmqss 39034  df-dmqs 39035  df-disjss 39100  df-disjs 39101  df-disjALTV 39102  df-parts 39180  df-part 39181

This theorem is referenced by:  mpets2  39267  pets  39278