Theorem brpartspart 37947

Description: Binary partition and the partition predicate are the same if 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brpartspart	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ 𝑅 Part 𝐴))

Proof of Theorem brpartspart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjsdisj 37901	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		brdmqssqs 37821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
4	2, 3	anbi12d 630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
5		brparts 37945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
7		df-part 37940	. . 3 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
9	4, 6, 8	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ 𝑅 Part 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   DomainQss cdmqss 37370   DomainQs wdmqs 37371   Disjs cdisjs 37380   Disj wdisjALTV 37381   Parts cparts 37385   Part wpart 37386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ec 8709  df-qs 8713  df-coss 37585  df-rels 37659  df-ssr 37672  df-cnvrefs 37699  df-cnvrefrels 37700  df-cnvrefrel 37701  df-dmqss 37812  df-dmqs 37813  df-disjss 37877  df-disjs 37878  df-disjALTV 37879  df-parts 37939  df-part 37940

This theorem is referenced by:  mpets2  38015  pets  38026