Theorem brpartspart 38755

Description: Binary partition and the partition predicate are the same if 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brpartspart	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ 𝑅 Part 𝐴))

Proof of Theorem brpartspart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjsdisj 38709	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		brdmqssqs 38629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
4	2, 3	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
5		brparts 38753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
7		df-part 38748	. . 3 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
9	4, 6, 8	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ 𝑅 Part 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   DomainQss cdmqss 38185   DomainQs wdmqs 38186   Disjs cdisjs 38195   Disj wdisjALTV 38196   Parts cparts 38200   Part wpart 38201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-qs 8750  df-coss 38393  df-rels 38467  df-ssr 38480  df-cnvrefs 38507  df-cnvrefrels 38508  df-cnvrefrel 38509  df-dmqss 38620  df-dmqs 38621  df-disjss 38685  df-disjs 38686  df-disjALTV 38687  df-parts 38747  df-part 38748

This theorem is referenced by:  mpets2  38823  pets  38834