Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brpartspart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brpartspart 37383
Description: Binary partition and the partition predicate are the same if 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
brpartspart ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴𝑅 Part 𝐴))

Proof of Theorem brpartspart
StepHypRef Expression
1 eldisjsdisj 37337 . . . 4 (𝑅𝑊 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
21adantl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3 brdmqssqs 37257 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴𝑅 DomainQs 𝐴))
42, 3anbi12d 631 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( Disj 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
5 brparts 37381 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
65adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
7 df-part 37376 . . 3 (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴))
87a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
94, 6, 83bitr4d 310 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴𝑅 Part 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5136   DomainQss cdmqss 36806   DomainQs wdmqs 36807   Disjs cdisjs 36816   Disj wdisjALTV 36817   Parts cparts 36821   Part wpart 36822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3429  df-v 3471  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-br 5137  df-opab 5199  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-ec 8683  df-qs 8687  df-coss 37021  df-rels 37095  df-ssr 37108  df-cnvrefs 37135  df-cnvrefrels 37136  df-cnvrefrel 37137  df-dmqss 37248  df-dmqs 37249  df-disjss 37313  df-disjs 37314  df-disjALTV 37315  df-parts 37375  df-part 37376
This theorem is referenced by:  mpets2  37451  pets  37462
  Copyright terms: Public domain W3C validator