Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brparts2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brparts2 38276
Description: Binary partitions relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
brparts2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))

Proof of Theorem brparts2
StepHypRef Expression
1 brparts 38275 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
21adantr 479 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3 brdmqss 38150 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
43anbi2d 628 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))
52, 4bitrd 278 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  dom cdm 5682   / cqs 8730   DomainQss cdmqss 37704   Disjs cdisjs 37714   Parts cparts 37719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-cnv 5690  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ec 8733  df-qs 8737  df-dmqss 38142  df-parts 38269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator