Theorem brparts2 39379

Description: Binary partitions relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brparts2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))

Proof of Theorem brparts2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brparts 39378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		brdmqss 39234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
4	3	anbi2d 639	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))
5	2, 4	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5649   / cqs 8679   DomainQss cdmqss 38710   Disjs cdisjs 38722   Parts cparts 38727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5655  df-cnv 5657  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ec 8682  df-qs 8686  df-dmqss 39226  df-parts 39372

This theorem is referenced by:  dfpetparts2  39476