Theorem brparts2 38759

Description: Binary partitions relation. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brparts2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))

Proof of Theorem brparts2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brparts 38758	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		brdmqss 38632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
4	3	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ Disjs ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))
5	2, 4	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Parts 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ Disjs ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  dom cdm 5640   / cqs 8672   DomainQss cdmqss 38187   Disjs cdisjs 38197   Parts cparts 38202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-cnv 5648  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ec 8675  df-qs 8679  df-dmqss 38624  df-parts 38752

This theorem is referenced by: (None)