Theorem br1cnvssrres 38032

Description: Restricted converse subset binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvssrres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 6005	. . 3 ⊢ Rel ( S ↾ 𝐴)
2	1	relbrcnv 6106	. 2 ⊢ (𝐵◡( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐶( S ↾ 𝐴)𝐵)
3		brssrres 38031	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐶( S ↾ 𝐴)𝐵 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	bitrid 282	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5671   ↾ cres 5674   S cssr 37707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-res 5684  df-ssr 38025

This theorem is referenced by: (None)