Theorem br1cnvssrres 38463

Description: Restricted converse subset binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvssrres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))

Proof of Theorem br1cnvssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 6037	. . 3 ⊢ Rel ( S ↾ 𝐴)
2	1	relbrcnv 6139	. 2 ⊢ (𝐵◡( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ 𝐶( S ↾ 𝐴)𝐵)
3		brssrres 38462	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐶( S ↾ 𝐴)𝐵 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   S cssr 38140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-res 5712  df-ssr 38456

This theorem is referenced by: (None)