Theorem cmn246135 33093

Description: Rearrange terms in a commutative monoid sum. Lemma for rlocaddval 33329. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn135246.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn135246.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn135246.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn135246.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn135246.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn135246.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn135246.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
cmn135246.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
cmn135246.9	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn246135	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑌 + (𝑈 + 𝑊)) + (𝑋 + (𝑍 + 𝑉))))

Proof of Theorem cmn246135

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn135246.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn135246.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		cmn135246.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		cmn135246.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cmn135246.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	cmncom 19773	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8		cmn135246.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		cmn135246.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
10		cmn135246.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
11		cmn135246.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	4, 5, 1, 8, 9, 10, 11	cmn4d 33092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑍 + 𝑉) + (𝑈 + 𝑊)))
13	1	cmnmndd 19779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
14	4, 5	mndcl 18710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑉) ∈ 𝐵)
15	13, 8, 10, 14	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑉) ∈ 𝐵)
16	4, 5	mndcl 18710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑊) ∈ 𝐵)
17	13, 9, 11, 16	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	4, 5	cmncom 19773	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑍 + 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 + 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑍 + 𝑉) + (𝑈 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉)))
19	1, 15, 17, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑉) + (𝑈 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉)))
20	12, 19	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉)))
21	7, 20	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑌 + 𝑋) + ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉))))
22	4, 5, 1, 3, 2, 17, 15	cmn4d 33092	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) + ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉))) = ((𝑌 + (𝑈 + 𝑊)) + (𝑋 + (𝑍 + 𝑉))))
23	21, 22	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑌 + (𝑈 + 𝑊)) + (𝑋 + (𝑍 + 𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mndcmnd 18702  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  rlocaddval  33329  rlocmulval  33330