Theorem cmn246135 33043

Description: Rearrange terms in a commutative monoid sum. Lemma for rlocaddval 33278. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn135246.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn135246.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn135246.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn135246.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn135246.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn135246.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn135246.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
cmn135246.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
cmn135246.9	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn246135	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑌 + (𝑈 + 𝑊)) + (𝑋 + (𝑍 + 𝑉))))

Proof of Theorem cmn246135

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn135246.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn135246.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		cmn135246.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		cmn135246.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cmn135246.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	cmncom 19718	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8		cmn135246.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		cmn135246.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
10		cmn135246.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
11		cmn135246.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	4, 5, 1, 8, 9, 10, 11	cmn4d 33042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑍 + 𝑉) + (𝑈 + 𝑊)))
13	1	cmnmndd 19724	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
14	4, 5	mndcl 18658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑉) ∈ 𝐵)
15	13, 8, 10, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑉) ∈ 𝐵)
16	4, 5	mndcl 18658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑊) ∈ 𝐵)
17	13, 9, 11, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	4, 5	cmncom 19718	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑍 + 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 + 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑍 + 𝑉) + (𝑈 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉)))
19	1, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑉) + (𝑈 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉)))
20	12, 19	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉)))
21	7, 20	oveq12d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑌 + 𝑋) + ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉))))
22	4, 5, 1, 3, 2, 17, 15	cmn4d 33042	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) + ((𝑈 + 𝑊) + (𝑍 + 𝑉))) = ((𝑌 + (𝑈 + 𝑊)) + (𝑋 + (𝑍 + 𝑉))))
23	21, 22	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑌 + (𝑈 + 𝑊)) + (𝑋 + (𝑍 + 𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  Mndcmnd 18650  CMndccmn 19700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-iota 6445  df-fv 6497  df-ov 7358  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-cmn 19702

This theorem is referenced by:  rlocaddval  33278  rlocmulval  33279