Theorem cmn145236 33015

Description: Rearrange terms in a commutative monoid sum. Lemma for rlocaddval 33235. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn135246.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn135246.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn135246.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn135246.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn135246.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn135246.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn135246.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
cmn135246.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
cmn135246.9	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn145236	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))

Proof of Theorem cmn145236

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn135246.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn135246.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		cmn135246.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		cmn135246.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cmn135246.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	cmncom 19710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑈) = (𝑈 + 𝑍))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑈) = (𝑈 + 𝑍))
8	7	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑍) + (𝑉 + 𝑊)))
9		cmn135246.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
10		cmn135246.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 1, 3, 2, 9, 10	cmn4d 33013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + 𝑍) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊)))
12	8, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊)))
13	12	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊))))
14		cmn135246.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	1	cmnmndd 19716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
16	4, 5	mndcl 18650	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑉) ∈ 𝐵)
17	15, 3, 9, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑉) ∈ 𝐵)
18		cmn135246.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	4, 5	mndcl 18650	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
20	15, 2, 10, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
21	4, 5, 1, 14, 17, 18, 20	cmn4d 33013	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊))))
22	13, 21	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Mndcmnd 18642  CMndccmn 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-cmn 19694

This theorem is referenced by:  rlocaddval  33235  rlocmulval  33236