Theorem cmn145236 32975

Description: Rearrange terms in a commutative monoid sum. Lemma for rlocaddval 33209. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn135246.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn135246.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn135246.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn135246.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn135246.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn135246.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn135246.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
cmn135246.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
cmn135246.9	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn145236	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))

Proof of Theorem cmn145236

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn135246.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn135246.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		cmn135246.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		cmn135246.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cmn135246.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	cmncom 19777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑈) = (𝑈 + 𝑍))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑈) = (𝑈 + 𝑍))
8	7	oveq1d 7418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑍) + (𝑉 + 𝑊)))
9		cmn135246.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
10		cmn135246.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 1, 3, 2, 9, 10	cmn4d 32973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + 𝑍) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊)))
12	8, 11	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊)))
13	12	oveq2d 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊))))
14		cmn135246.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	1	cmnmndd 19783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
16	4, 5	mndcl 18718	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑉) ∈ 𝐵)
17	15, 3, 9, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑉) ∈ 𝐵)
18		cmn135246.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	4, 5	mndcl 18718	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
20	15, 2, 10, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
21	4, 5, 1, 14, 17, 18, 20	cmn4d 32973	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊))))
22	13, 21	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  Mndcmnd 18710  CMndccmn 19759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-nul 5276

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-iota 6483  df-fv 6538  df-ov 7406  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-cmn 19761

This theorem is referenced by:  rlocaddval  33209  rlocmulval  33210