Theorem cmn145236 33595

Description: Rearrange terms in a commutative monoid sum. Lemma for rlocaddval 33830. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn135246.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn135246.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn135246.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn135246.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn135246.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn135246.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn135246.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
cmn135246.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
cmn135246.9	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn145236	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))

Proof of Theorem cmn145236

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn135246.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn135246.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		cmn135246.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		cmn135246.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cmn135246.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	cmncom 20012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑈) = (𝑈 + 𝑍))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑈) = (𝑈 + 𝑍))
8	7	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑍) + (𝑉 + 𝑊)))
9		cmn135246.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
10		cmn135246.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 1, 3, 2, 9, 10	cmn4d 33593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + 𝑍) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊)))
12	8, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊)) = ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊)))
13	12	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊))))
14		cmn135246.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	1	cmnmndd 20018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
16	4, 5	mndcl 18931	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑉) ∈ 𝐵)
17	15, 3, 9, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑉) ∈ 𝐵)
18		cmn135246.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	4, 5	mndcl 18931	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
20	15, 2, 10, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
21	4, 5, 1, 14, 17, 18, 20	cmn4d 33593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑈 + 𝑉) + (𝑍 + 𝑊))))
22	13, 21	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑍 + 𝑈) + (𝑉 + 𝑊))) = ((𝑋 + (𝑈 + 𝑉)) + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Mndcmnd 18923  CMndccmn 19994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-cmn 19996

This theorem is used by:  rlocaddval  33830  rlocmulval  33831