Theorem mndcl 18650

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18649	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18551	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Mgmcmgm 18546  Mndcmnd 18642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643

This theorem is referenced by:  mnd4g  18656  mndpropd  18667  issubmnd  18669  prdsplusgcl  18676  imasmnd  18683  xpsmnd0  18686  idmhm  18703  mhmf1o  18704  mndvcl  18705  mhmvlin  18709  issubmd  18714  0mhm  18727  mhmco  18731  mhmeql  18734  submacs  18735  mndind  18736  prdspjmhm  18737  pwsdiagmhm  18739  pwsco1mhm  18740  pwsco2mhm  18741  gsumwmhm  18753  grpcl  18854  mhmmnd  18977  mulgnn0cl  19003  cntzsubm  19250  oppgmnd  19266  lsmssv  19555  frgp0  19672  frgpadd  19675  mulgnn0di  19737  mulgmhm  19739  gsumval3eu  19816  gsumval3  19819  gsumzcl2  19822  gsumzaddlem  19833  gsumzmhm  19849  gsummptfzcl  19881  omndadd2d  20042  omndadd2rd  20043  srgcl  20111  srgacl  20123  srgbinomlem  20148  srgbinom  20149  ringcl  20168  ringpropd  20206  c0mhm  20378  mat2pmatghm  22645  pm2mpghm  22731  cpmadugsumlemF  22791  tsmsadd  24062  mndcld  33003  cmn246135  33014  cmn145236  33015  slmdacl  33178  slmdvacl  33181  gsumncl  34553  primrootsunit1  42138  aks6d1c1  42157  aks6d1c5lem0  42176  aks6d1c5lem3  42178  aks6d1c5lem2  42179  aks6d1c5  42180  aks6d1c6lem1  42211  ofaddmndmap  48382  lincsum  48469  mndtccatid  49627