Theorem mndcl 17911

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 17910	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 17847	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Mgmcmgm 17842  Mndcmnd 17903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904

This theorem is referenced by:  mnd4g  17917  mndpropd  17928  issubmnd  17930  prdsplusgcl  17934  imasmnd  17941  idmhm  17957  mhmf1o  17958  issubmd  17963  0mhm  17976  mhmco  17980  mhmeql  17982  submacs  17983  mndind  17984  prdspjmhm  17985  pwsdiagmhm  17987  pwsco1mhm  17988  pwsco2mhm  17989  gsumccatOLD  17997  gsumwmhm  18002  grpcl  18103  mhmmnd  18213  mulgnn0cl  18236  cntzsubm  18458  oppgmnd  18474  lsmssv  18760  frgp0  18878  frgpadd  18881  mulgnn0di  18939  mulgmhm  18941  gsumval3eu  19017  gsumval3  19020  gsumzcl2  19023  gsumzaddlem  19034  gsumzmhm  19050  gsummptfzcl  19082  srgcl  19255  srgacl  19267  srgbinomlem  19287  srgbinom  19288  ringcl  19307  ringpropd  19328  mndvcl  20998  mhmvlin  21004  mat2pmatghm  21335  pm2mpghm  21421  cpmadugsumlemF  21481  tsmsadd  22752  omndadd2d  30759  omndadd2rd  30760  slmdacl  30887  slmdvacl  30890  gsumncl  31920  c0mhm  44534  ofaddmndmap  44745  lincsum  44838