Theorem mndcl 18730

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18729	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18631	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  Mgmcmgm 18626  Mndcmnd 18722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-nul 5303

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-iota 6498  df-fv 6554  df-ov 7419  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723

This theorem is referenced by:  mnd4g  18736  mndpropd  18747  issubmnd  18749  prdsplusgcl  18753  imasmnd  18760  xpsmnd0  18763  idmhm  18780  mhmf1o  18781  mndvcl  18782  mhmvlin  18786  issubmd  18791  0mhm  18804  mhmco  18808  mhmeql  18811  submacs  18812  mndind  18813  prdspjmhm  18814  pwsdiagmhm  18816  pwsco1mhm  18817  pwsco2mhm  18818  gsumwmhm  18830  grpcl  18931  mhmmnd  19054  mulgnn0cl  19080  cntzsubm  19328  oppgmnd  19347  lsmssv  19637  frgp0  19754  frgpadd  19757  mulgnn0di  19819  mulgmhm  19821  gsumval3eu  19898  gsumval3  19901  gsumzcl2  19904  gsumzaddlem  19915  gsumzmhm  19931  gsummptfzcl  19963  srgcl  20172  srgacl  20184  srgbinomlem  20209  srgbinom  20210  ringcl  20229  ringpropd  20263  c0mhm  20438  mat2pmatghm  22720  pm2mpghm  22806  cpmadugsumlemF  22866  tsmsadd  24139  cmn246135  32909  cmn145236  32910  omndadd2d  32947  omndadd2rd  32948  slmdacl  33077  slmdvacl  33080  gsumncl  34399  primrootsunit1  41809  aks6d1c1  41828  aks6d1c5lem0  41847  aks6d1c5lem3  41849  aks6d1c5lem2  41850  aks6d1c5  41851  aks6d1c6lem1  41882  ofaddmndmap  47758  lincsum  47848  mndtccatid  48450