Theorem mndcl 18393

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18392	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18329	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Mgmcmgm 18324  Mndcmnd 18385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386

This theorem is referenced by:  mnd4g  18399  mndpropd  18410  issubmnd  18412  prdsplusgcl  18416  imasmnd  18423  idmhm  18439  mhmf1o  18440  issubmd  18445  0mhm  18458  mhmco  18462  mhmeql  18464  submacs  18465  mndind  18466  prdspjmhm  18467  pwsdiagmhm  18469  pwsco1mhm  18470  pwsco2mhm  18471  gsumccatOLD  18479  gsumwmhm  18484  grpcl  18585  mhmmnd  18697  mulgnn0cl  18720  cntzsubm  18942  oppgmnd  18961  lsmssv  19248  frgp0  19366  frgpadd  19369  mulgnn0di  19427  mulgmhm  19429  gsumval3eu  19505  gsumval3  19508  gsumzcl2  19511  gsumzaddlem  19522  gsumzmhm  19538  gsummptfzcl  19570  srgcl  19748  srgacl  19760  srgbinomlem  19780  srgbinom  19781  ringcl  19800  ringpropd  19821  mndvcl  21540  mhmvlin  21546  mat2pmatghm  21879  pm2mpghm  21965  cpmadugsumlemF  22025  tsmsadd  23298  omndadd2d  31334  omndadd2rd  31335  slmdacl  31462  slmdvacl  31465  gsumncl  32519  c0mhm  45468  ofaddmndmap  45679  lincsum  45770  mndtccatid  46374