Theorem mndcl 18701

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18700	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18602	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1169	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Mgmcmgm 18597  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694

This theorem is referenced by:  mnd4g  18707  mndpropd  18718  issubmnd  18720  prdsplusgcl  18727  imasmnd  18734  xpsmnd0  18737  idmhm  18754  mhmf1o  18755  mndvcl  18756  mhmvlin  18760  issubmd  18765  0mhm  18778  mhmco  18782  mhmeql  18785  submacs  18786  mndind  18787  prdspjmhm  18788  pwsdiagmhm  18790  pwsco1mhm  18791  pwsco2mhm  18792  gsumwmhm  18804  grpcl  18908  mhmmnd  19031  mulgnn0cl  19057  cntzsubm  19304  oppgmnd  19320  lsmssv  19609  frgp0  19726  frgpadd  19729  mulgnn0di  19791  mulgmhm  19793  gsumval3eu  19870  gsumval3  19873  gsumzcl2  19876  gsumzaddlem  19887  gsumzmhm  19903  gsummptfzcl  19935  omndadd2d  20096  omndadd2rd  20097  srgcl  20165  srgacl  20177  srgbinomlem  20202  srgbinom  20203  ringcl  20222  ringpropd  20260  c0mhm  20431  mat2pmatghm  22713  pm2mpghm  22799  cpmadugsumlemF  22859  tsmsadd  24130  mndcld  33101  cmn246135  33112  cmn145236  33113  slmdacl  33290  slmdvacl  33293  gsumncl  34724  primrootsunit1  42582  aks6d1c1  42601  aks6d1c5lem0  42620  aks6d1c5lem3  42622  aks6d1c5lem2  42623  aks6d1c5  42624  aks6d1c6lem1  42655  ofaddmndmap  48834  lincsum  48920  mndtccatid  50077