Theorem mndcl 18308

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18307	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18244	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Mgmcmgm 18239  Mndcmnd 18300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301

This theorem is referenced by:  mnd4g  18314  mndpropd  18325  issubmnd  18327  prdsplusgcl  18331  imasmnd  18338  idmhm  18354  mhmf1o  18355  issubmd  18360  0mhm  18373  mhmco  18377  mhmeql  18379  submacs  18380  mndind  18381  prdspjmhm  18382  pwsdiagmhm  18384  pwsco1mhm  18385  pwsco2mhm  18386  gsumccatOLD  18394  gsumwmhm  18399  grpcl  18500  mhmmnd  18612  mulgnn0cl  18635  cntzsubm  18857  oppgmnd  18876  lsmssv  19163  frgp0  19281  frgpadd  19284  mulgnn0di  19342  mulgmhm  19344  gsumval3eu  19420  gsumval3  19423  gsumzcl2  19426  gsumzaddlem  19437  gsumzmhm  19453  gsummptfzcl  19485  srgcl  19663  srgacl  19675  srgbinomlem  19695  srgbinom  19696  ringcl  19715  ringpropd  19736  mndvcl  21450  mhmvlin  21456  mat2pmatghm  21787  pm2mpghm  21873  cpmadugsumlemF  21933  tsmsadd  23206  omndadd2d  31236  omndadd2rd  31237  slmdacl  31364  slmdvacl  31367  gsumncl  32419  c0mhm  45356  ofaddmndmap  45567  lincsum  45658  mndtccatid  46260