Theorem mndcl 18645

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18644	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18546	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Mgmcmgm 18541  Mndcmnd 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638

This theorem is referenced by:  mnd4g  18651  mndpropd  18662  issubmnd  18664  prdsplusgcl  18671  imasmnd  18678  xpsmnd0  18681  idmhm  18698  mhmf1o  18699  mndvcl  18700  mhmvlin  18704  issubmd  18709  0mhm  18722  mhmco  18726  mhmeql  18729  submacs  18730  mndind  18731  prdspjmhm  18732  pwsdiagmhm  18734  pwsco1mhm  18735  pwsco2mhm  18736  gsumwmhm  18748  grpcl  18849  mhmmnd  18972  mulgnn0cl  18998  cntzsubm  19246  oppgmnd  19262  lsmssv  19549  frgp0  19666  frgpadd  19669  mulgnn0di  19731  mulgmhm  19733  gsumval3eu  19810  gsumval3  19813  gsumzcl2  19816  gsumzaddlem  19827  gsumzmhm  19843  gsummptfzcl  19875  srgcl  20078  srgacl  20090  srgbinomlem  20115  srgbinom  20116  ringcl  20135  ringpropd  20173  c0mhm  20345  mat2pmatghm  22593  pm2mpghm  22679  cpmadugsumlemF  22739  tsmsadd  24010  mndcld  32936  cmn246135  32947  cmn145236  32948  omndadd2d  32995  omndadd2rd  32996  slmdacl  33135  slmdvacl  33138  gsumncl  34504  primrootsunit1  42058  aks6d1c1  42077  aks6d1c5lem0  42096  aks6d1c5lem3  42098  aks6d1c5lem2  42099  aks6d1c5  42100  aks6d1c6lem1  42131  ofaddmndmap  48304  lincsum  48391  mndtccatid  49549