Theorem mndcl 18669

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18668	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 18570	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  Mgmcmgm 18565  Mndcmnd 18661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7416  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662

This theorem is referenced by:  mnd4g  18675  mndpropd  18686  issubmnd  18688  prdsplusgcl  18692  imasmnd  18699  xpsmnd0  18702  idmhm  18719  mhmf1o  18720  issubmd  18725  0mhm  18738  mhmco  18742  mhmeql  18745  submacs  18746  mndind  18747  prdspjmhm  18748  pwsdiagmhm  18750  pwsco1mhm  18751  pwsco2mhm  18752  gsumwmhm  18764  grpcl  18865  mhmmnd  18985  mulgnn0cl  19008  cntzsubm  19245  oppgmnd  19264  lsmssv  19554  frgp0  19671  frgpadd  19674  mulgnn0di  19736  mulgmhm  19738  gsumval3eu  19815  gsumval3  19818  gsumzcl2  19821  gsumzaddlem  19832  gsumzmhm  19848  gsummptfzcl  19880  srgcl  20089  srgacl  20101  srgbinomlem  20126  srgbinom  20127  ringcl  20146  ringpropd  20178  c0mhm  20353  mndvcl  22115  mhmvlin  22121  mat2pmatghm  22454  pm2mpghm  22540  cpmadugsumlemF  22600  tsmsadd  23873  omndadd2d  32494  omndadd2rd  32495  slmdacl  32622  slmdvacl  32625  gsumncl  33847  ofaddmndmap  47109  lincsum  47199  mndtccatid  47802