Theorem cmn4d 33092

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn4d.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn4d.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn4d.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn4d.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn4d.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn4d.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn4d	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem cmn4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		cmn4d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		cmn4d.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		cmn4d.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6		cmn4d.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cmn4d.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	6, 7	cmn4 19776	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	syl122anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  cmn246135  33093  cmn145236  33094  rloccring  33331