Theorem cmn4d 33118

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn4d.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn4d.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn4d.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn4d.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn4d.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn4d.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn4d	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem cmn4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		cmn4d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		cmn4d.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		cmn4d.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6		cmn4d.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cmn4d.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	6, 7	cmn4 19774	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	syl122anc 1387	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  CMndccmn 19753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-nul 5235

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-cmn 19755

This theorem is referenced by:  cmn246135  33119  cmn145236  33120  rloccring  33358