Theorem cmn4d 32980

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn4d.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn4d.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn4d.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn4d.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn4d.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn4d.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn4d	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem cmn4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		cmn4d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		cmn4d.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		cmn4d.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6		cmn4d.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cmn4d.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	6, 7	cmn4 19738	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	syl122anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  CMndccmn 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  cmn246135  32981  cmn145236  32982  rloccring  33228