Theorem cmn4d 33375

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmn4d.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmn4d.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
cmn4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cmn4d.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cmn4d.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cmn4d.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
cmn4d.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cmn4d	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem cmn4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmn4d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
2		cmn4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		cmn4d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		cmn4d.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		cmn4d.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6		cmn4d.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cmn4d.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	6, 7	cmn4 19894	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	syl122anc 1406	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  CMndccmn 19873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-nul 5271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-cmn 19875

This theorem is used by:  cmn246135  33376  cmn145236  33377  rloccring  33614