| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | rlocaddval.1 |
. . 3
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅) |
| 2 | | eqid 2737 |
. . 3
⊢
(0g‘𝑅) = (0g‘𝑅) |
| 3 | | rlocaddval.2 |
. . 3
⊢ · =
(.r‘𝑅) |
| 4 | | eqid 2737 |
. . 3
⊢
(-g‘𝑅) = (-g‘𝑅) |
| 5 | | eqid 2737 |
. . 3
⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆) |
| 6 | | rlocaddval.4 |
. . 3
⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆) |
| 7 | | rlocaddval.5 |
. . 3
⊢ ∼ =
(𝑅 ~RL
𝑆) |
| 8 | | rlocaddval.r |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing) |
| 9 | | rlocaddval.s |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) |
| 10 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢
(mulGrp‘𝑅) =
(mulGrp‘𝑅) |
| 11 | 10, 1 | mgpbas 20142 |
. . . . 5
⊢ 𝐵 =
(Base‘(mulGrp‘𝑅)) |
| 12 | 11 | submss 18822 |
. . . 4
⊢ (𝑆 ∈
(SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
| 13 | 9, 12 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
| 14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13 | rlocbas 33271 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) =
(Base‘𝐿)) |
| 15 | | eqidd 2738 |
. 2
⊢ (𝜑 → (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)) |
| 16 | | eqidd 2738 |
. 2
⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)) |
| 17 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢
(Base‘𝐿) =
(Base‘𝐿) |
| 18 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢
(0g‘𝐿) = (0g‘𝐿) |
| 19 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢
(+g‘𝐿) = (+g‘𝐿) |
| 20 | 8 | crngringd 20243 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring) |
| 21 | 1, 2 | ring0cl 20264 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑅 ∈ Ring →
(0g‘𝑅)
∈ 𝐵) |
| 22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) |
| 23 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(1r‘𝑅) = (1r‘𝑅) |
| 24 | 10, 23 | ringidval 20180 |
. . . . . . . . 9
⊢
(1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)) |
| 25 | 24 | subm0cl 18824 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑆 ∈
(SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) |
| 26 | 9, 25 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) |
| 27 | 22, 26 | opelxpd 5724 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆)) |
| 28 | 7 | ovexi 7465 |
. . . . . . 7
⊢ ∼ ∈
V |
| 29 | 28 | ecelqsi 8813 |
. . . . . 6
⊢
(〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆) → [〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 30 | 27, 29 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 31 | 30, 14 | eleqtrd 2843 |
. . . 4
⊢ (𝜑 →
[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ∈
(Base‘𝐿)) |
| 32 | 14 | eleq2d 2827 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿))) |
| 33 | 32 | biimpar 477 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 34 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 35 | 34 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)𝑥) = ([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ )) |
| 36 | 20 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ Ring) |
| 37 | 9 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑆 ∈
(SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) |
| 38 | 37, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
| 39 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝑆) |
| 40 | 38, 39 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝐵) |
| 41 | 1, 3, 2, 36, 40 | ringlzd 20292 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((0g‘𝑅)
·
𝑏) =
(0g‘𝑅)) |
| 42 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑎 ∈ 𝐵) |
| 43 | 1, 3, 23, 36, 42 | ringridmd 20270 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑎 ·
(1r‘𝑅)) =
𝑎) |
| 44 | 41, 43 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(((0g‘𝑅)
·
𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 ·
(1r‘𝑅))) =
((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑎)) |
| 45 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(+g‘𝑅) = (+g‘𝑅) |
| 46 | 36 | ringgrpd 20239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ Grp) |
| 47 | 1, 45, 2, 46, 42 | grplidd 18987 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑎) = 𝑎) |
| 48 | 44, 47 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(((0g‘𝑅)
·
𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 ·
(1r‘𝑅))) =
𝑎) |
| 49 | 1, 3, 23, 36, 40 | ringlidmd 20269 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((1r‘𝑅)
·
𝑏) = 𝑏) |
| 50 | 48, 49 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈(((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 ·
(1r‘𝑅))),
((1r‘𝑅)
·
𝑏)〉 = 〈𝑎, 𝑏〉) |
| 51 | 50 | eceq1d 8785 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈(((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 ·
(1r‘𝑅))),
((1r‘𝑅)
·
𝑏)〉] ∼ =
[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 52 | 8 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing) |
| 53 | 22 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(0g‘𝑅)
∈ 𝐵) |
| 54 | 37, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(1r‘𝑅)
∈ 𝑆) |
| 55 | 1, 3, 45, 6, 7, 52, 37, 53, 42, 54, 39, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) =
[〈(((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 ·
(1r‘𝑅))),
((1r‘𝑅)
·
𝑏)〉] ∼
) |
| 56 | 51, 55, 34 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 57 | 35, 56 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)𝑥) = 𝑥) |
| 58 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 59 | 58 | elrlocbasi 33270 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) →
∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 60 | 57, 59 | r19.29vva 3216 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) →
([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)𝑥) = 𝑥) |
| 61 | 33, 60 | syldan 591 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → ([〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(+g‘𝐿)𝑥) = 𝑥) |
| 62 | | rlocaddval.3 |
. . . . . . . 8
⊢ + =
(+g‘𝑅) |
| 63 | 1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 42, 53, 39, 54, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = [〈((𝑎 ·
(1r‘𝑅))
+
((0g‘𝑅)
·
𝑏)), (𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉] ∼ ) |
| 64 | 34 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ )) |
| 65 | 43, 41 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑎 ·
(1r‘𝑅))
+
((0g‘𝑅)
·
𝑏)) = (𝑎 + (0g‘𝑅))) |
| 66 | 1, 62, 2, 46, 42 | grpridd 18988 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑎 + (0g‘𝑅)) = 𝑎) |
| 67 | 65, 66 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑎 = ((𝑎 ·
(1r‘𝑅))
+
((0g‘𝑅)
·
𝑏))) |
| 68 | 1, 3, 23, 36, 40 | ringridmd 20270 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑏 ·
(1r‘𝑅)) =
𝑏) |
| 69 | 68 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑏 = (𝑏 ·
(1r‘𝑅))) |
| 70 | 67, 69 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈𝑎, 𝑏〉 = 〈((𝑎 ·
(1r‘𝑅))
+
((0g‘𝑅)
·
𝑏)), (𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉) |
| 71 | 70 | eceq1d 8785 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ = [〈((𝑎 ·
(1r‘𝑅))
+
((0g‘𝑅)
·
𝑏)), (𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉] ∼ ) |
| 72 | 34, 71 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑥 = [〈((𝑎 ·
(1r‘𝑅))
+
((0g‘𝑅)
·
𝑏)), (𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉] ∼ ) |
| 73 | 63, 64, 72 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 74 | 73, 59 | r19.29vva 3216 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(+g‘𝐿)[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 75 | 33, 74 | syldan 591 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → (𝑥(+g‘𝐿)[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 76 | 17, 18, 19, 31, 61, 75 | ismgmid2 18681 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ =
(0g‘𝐿)) |
| 77 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 78 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) |
| 79 | 77, 78 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ )) |
| 80 | 8 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing) |
| 81 | 9 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑆 ∈
(SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) |
| 82 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑎 ∈ 𝐵) |
| 83 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑐 ∈ 𝐵) |
| 84 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝑆) |
| 85 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝑆) |
| 86 | 1, 3, 62, 6, 7, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) = [〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ) |
| 87 | 80 | crnggrpd 20244 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ Grp) |
| 88 | 20 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ Ring) |
| 89 | 81, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
| 90 | 89, 85 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝐵) |
| 91 | 1, 3, 88, 82, 90 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑑) ∈ 𝐵) |
| 92 | 89, 84 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝐵) |
| 93 | 1, 3, 88, 83, 92 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝐵) |
| 94 | 1, 62, 87, 91, 93 | grpcld 18965 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ 𝐵) |
| 95 | 10, 3 | mgpplusg 20141 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ · =
(+g‘(mulGrp‘𝑅)) |
| 96 | 95, 81, 84, 85 | submcld 33040 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝑆) |
| 97 | 94, 96 | opelxpd 5724 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆)) |
| 98 | 28 | ecelqsi 8813 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆) → [〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 99 | 97, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
[〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 100 | 86, 99 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 101 | 79, 100 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 102 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 103 | 102 | elrlocbasi 33270 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
∃𝑐 ∈ 𝐵 ∃𝑑 ∈ 𝑆 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) |
| 104 | 101, 103 | r19.29vva 3216 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 105 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 106 | 105 | elrlocbasi 33270 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) →
∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 107 | 104, 106 | r19.29vva 3216 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 108 | 107 | 3impa 1110 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 109 | 8 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing) |
| 110 | 109 | crnggrpd 20244 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ Grp) |
| 111 | 20 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑅 ∈ Ring) |
| 112 | | simp-9r 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑎 ∈ 𝐵) |
| 113 | 9 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑆 ∈
(SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) |
| 114 | 113, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
| 115 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝑆) |
| 116 | 114, 115 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝐵) |
| 117 | 1, 3, 111, 112, 116 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑑) ∈ 𝐵) |
| 118 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑓 ∈ 𝑆) |
| 119 | 114, 118 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑓 ∈ 𝐵) |
| 120 | 1, 3, 111, 117, 119 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 121 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑐 ∈ 𝐵) |
| 122 | | simp-8r 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝑆) |
| 123 | 114, 122 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝐵) |
| 124 | 1, 3, 111, 121, 123 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝐵) |
| 125 | 1, 3, 111, 124, 119 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 126 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑒 ∈ 𝐵) |
| 127 | 1, 3, 111, 123, 116 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵) |
| 128 | 1, 3, 111, 126, 127 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)) ∈ 𝐵) |
| 129 | 1, 62, 110, 120, 125, 128 | grpassd 18963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + (((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))))) |
| 130 | 1, 3, 111, 112, 116, 119 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) = (𝑎 · (𝑑 · 𝑓))) |
| 131 | 1, 3, 109, 121, 123, 119 | crng32d 20256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) = ((𝑐 · 𝑓) · 𝑏)) |
| 132 | 1, 3, 109, 126, 123, 116 | crng12d 20255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)) = (𝑏 · (𝑒 · 𝑑))) |
| 133 | 1, 3, 111, 126, 116 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑒 · 𝑑) ∈ 𝐵) |
| 134 | 1, 3, 109, 123, 133 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑒 · 𝑑)) = ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)) |
| 135 | 132, 134 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)) = ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)) |
| 136 | 131, 135 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))) |
| 137 | 130, 136 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + (((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)))) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)))) |
| 138 | 129, 137 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)))) |
| 139 | 1, 62, 3, 111, 117, 124, 119 | ringdird 20261 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓))) |
| 140 | 139 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = ((((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)))) |
| 141 | 1, 3, 111, 121, 119 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑐 · 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 142 | 1, 62, 3, 111, 141, 133, 123 | ringdird 20261 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏) = (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))) |
| 143 | 142 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)))) |
| 144 | 138, 140,
143 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏))) |
| 145 | 1, 3, 111, 123, 116, 119 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) = (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))) |
| 146 | 144, 145 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉 = 〈((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉) |
| 147 | 146 | eceq1d 8785 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
[〈((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉] ∼ = [〈((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 148 | 1, 62, 110, 117, 124 | grpcld 18965 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ 𝐵) |
| 149 | 95, 113, 122, 115 | submcld 33040 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝑆) |
| 150 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 148, 126, 149, 118, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) =
[〈((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉] ∼ ) |
| 151 | 1, 62, 110, 141, 133 | grpcld 18965 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) ∈ 𝐵) |
| 152 | 95, 113, 115, 118 | submcld 33040 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑑 · 𝑓) ∈ 𝑆) |
| 153 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 151, 122, 152, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) = [〈((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 154 | 147, 150,
153 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 155 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 121, 122, 115, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) = [〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ) |
| 156 | 155 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 157 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 121, 126, 115, 118, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = [〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) |
| 158 | 157 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 159 | 154, 156,
158 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 160 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 161 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) |
| 162 | 160, 161 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ )) |
| 163 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) |
| 164 | 162, 163 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 165 | 161, 163 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑦(+g‘𝐿)𝑧) = ([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 166 | 160, 165 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 167 | 159, 164,
166 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧))) |
| 168 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 169 | 168 | ad6antr 736 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 170 | 169 | elrlocbasi 33270 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
∃𝑒 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ 𝑆 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) |
| 171 | 167, 170 | r19.29vva 3216 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧))) |
| 172 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 173 | 172 | ad5ant12 756 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 174 | 173 | elrlocbasi 33270 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
∃𝑐 ∈ 𝐵 ∃𝑑 ∈ 𝑆 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) |
| 175 | 171, 174 | r19.29vva 3216 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧))) |
| 176 | | simpr1 1195 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 177 | 176 | elrlocbasi 33270 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) →
∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 178 | 175, 177 | r19.29vva 3216 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧))) |
| 179 | 14, 15, 108, 178, 30, 60, 74 | ismndd 18769 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Mnd) |
| 180 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
⊢
(invg‘𝑅) = (invg‘𝑅) |
| 181 | 1, 180, 46, 42 | grpinvcld 19006 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ 𝐵) |
| 182 | 181, 39 | opelxpd 5724 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉 ∈ (𝐵 × 𝑆)) |
| 183 | 28 | ecelqsi 8813 |
. . . . . 6
⊢
(〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉 ∈ (𝐵 × 𝑆) →
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 184 | 182, 183 | syl 17 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 185 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑢 =
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ) → 𝑢 =
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ) |
| 186 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑢 =
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ) → 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 187 | 185, 186 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑢 =
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ) → (𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = ([〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ )) |
| 188 | 187 | eqeq1d 2739 |
. . . . 5
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑢 =
[〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = [〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ↔
([〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) =
[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ )) |
| 189 | 1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 181, 42, 39, 39, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) =
[〈((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑏)〉] ∼ ) |
| 190 | 1, 62, 2, 180, 46, 42 | grplinvd 19012 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(((invg‘𝑅)‘𝑎) + 𝑎) = (0g‘𝑅)) |
| 191 | 190 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((((invg‘𝑅)‘𝑎) + 𝑎) · 𝑏) = ((0g‘𝑅) · 𝑏)) |
| 192 | 1, 62, 3, 36, 181, 42, 40 | ringdird 20261 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((((invg‘𝑅)‘𝑎) + 𝑎) · 𝑏) = ((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏))) |
| 193 | 191, 192,
41 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)) = (0g‘𝑅)) |
| 194 | 193 | opeq1d 4879 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑏)〉 = 〈(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)〉) |
| 195 | 194 | eceq1d 8785 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑏)〉] ∼ =
[〈(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)〉] ∼ ) |
| 196 | 1, 2, 23, 3, 4, 5,
7, 8, 9 | erler 33269 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆)) |
| 197 | 196 | ad4antr 732 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ∼ Er
(𝐵 × 𝑆)) |
| 198 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)〉 = 〈(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)〉) |
| 199 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉 = 〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉) |
| 200 | 95, 37, 39, 39 | submcld 33040 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ 𝑆) |
| 201 | 1, 3, 23, 36, 53 | ringridmd 20270 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((0g‘𝑅)
·
(1r‘𝑅)) =
(0g‘𝑅)) |
| 202 | 38, 200 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ 𝐵) |
| 203 | 1, 3, 2, 36, 202 | ringlzd 20292 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((0g‘𝑅)
·
(𝑏 · 𝑏)) = (0g‘𝑅)) |
| 204 | 201, 203 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(((0g‘𝑅)
·
(1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏))) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅))) |
| 205 | 1, 2, 4 | grpsubid 19042 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧
(0g‘𝑅)
∈ 𝐵) →
((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) |
| 206 | 46, 53, 205 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) |
| 207 | 204, 206 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(((0g‘𝑅)
·
(1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏))) = (0g‘𝑅)) |
| 208 | 207 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑏) ·
(((0g‘𝑅)
·
(1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏)))) = ((𝑏 · 𝑏) ·
(0g‘𝑅))) |
| 209 | 1, 3, 2, 36, 202 | ringrzd 20293 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑏) ·
(0g‘𝑅)) =
(0g‘𝑅)) |
| 210 | 208, 209 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑏) ·
(((0g‘𝑅)
·
(1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏)))) = (0g‘𝑅)) |
| 211 | 1, 7, 38, 2, 3, 4,
198, 199, 53, 53, 200, 54, 200, 210 | erlbrd 33267 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)〉 ∼
〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉) |
| 212 | 197, 211 | erthi 8798 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)〉] ∼ =
[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) |
| 213 | 189, 195,
212 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) =
[〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) |
| 214 | 184, 188,
213 | rspcedvd 3624 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
∃𝑢 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )(𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = [〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) |
| 215 | 214, 59 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) →
∃𝑢 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )(𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = [〈(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) |
| 216 | 14, 15, 76, 179, 215 | isgrpd2e 18973 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Grp) |
| 217 | 77, 78 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ )) |
| 218 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
⊢
(.r‘𝐿) = (.r‘𝐿) |
| 219 | 1, 3, 62, 6, 7, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) = [〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ) |
| 220 | 1, 3, 88, 82, 83 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) |
| 221 | 220, 96 | opelxpd 5724 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆)) |
| 222 | 28 | ecelqsi 8813 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆) → [〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 223 | 221, 222 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
[〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 224 | 219, 223 | eqeltrd 2841 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 225 | 217, 224 | eqeltrd 2841 |
. . . . 5
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 226 | 225, 103 | r19.29vva 3216 |
. . . 4
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 227 | 226, 106 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 228 | 227 | 3impa 1110 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 229 | 1, 3, 111, 112, 121, 126 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑐) · 𝑒) = (𝑎 · (𝑐 · 𝑒))) |
| 230 | 229, 145 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈((𝑎 · 𝑐) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉 = 〈(𝑎 · (𝑐 · 𝑒)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉) |
| 231 | 230 | eceq1d 8785 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
[〈((𝑎 · 𝑐) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉] ∼ = [〈(𝑎 · (𝑐 · 𝑒)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 232 | 1, 3, 111, 112, 121 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) |
| 233 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 232, 126, 149, 118, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = [〈((𝑎 · 𝑐) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉] ∼ ) |
| 234 | 1, 3, 111, 121, 126 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑐 · 𝑒) ∈ 𝐵) |
| 235 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 234, 122, 152, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) = [〈(𝑎 · (𝑐 · 𝑒)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 236 | 231, 233,
235 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 237 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 121, 122, 115, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) = [〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ ) |
| 238 | 237 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 239 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 121, 126, 115, 118, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = [〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) |
| 240 | 239 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 241 | 236, 238,
240 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 242 | 160, 161 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ )) |
| 243 | 242, 163 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 244 | 161, 163 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑦(.r‘𝐿)𝑧) = ([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 245 | 160, 244 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 246 | 241, 243,
245 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . 5
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 247 | 246, 170 | r19.29vva 3216 |
. . . 4
⊢
((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 248 | 247, 174 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 249 | 248, 177 | r19.29vva 3216 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 250 | 196 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ∼ Er
(𝐵 × 𝑆)) |
| 251 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉 = 〈(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉) |
| 252 | 1, 3, 111, 112, 123 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵) |
| 253 | 1, 62, 3, 111, 252, 141, 133 | ringdid 20260 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑏) · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑)))) |
| 254 | 1, 3, 111, 112, 123, 151 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑏) · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))) = (𝑎 · (𝑏 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))))) |
| 255 | 253, 254 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑))) = (𝑎 · (𝑏 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))))) |
| 256 | 10 | crngmgp 20238 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ CRing →
(mulGrp‘𝑅) ∈
CMnd) |
| 257 | 8, 256 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) |
| 258 | 257 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(mulGrp‘𝑅) ∈
CMnd) |
| 259 | 11, 95, 258, 112, 121, 123, 119 | cmn4d 33037 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) = ((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓))) |
| 260 | 11, 95, 258, 112, 126, 123, 116 | cmn4d 33037 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑)) = ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑))) |
| 261 | 259, 260 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑)))) |
| 262 | 1, 3, 109, 123, 112, 151 | crng12d 20255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))) = (𝑎 · (𝑏 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))))) |
| 263 | 255, 261,
262 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))) = (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))))) |
| 264 | 1, 3, 109, 127, 123, 119 | crng12d 20255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓)) = (𝑏 · ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓))) |
| 265 | 145 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)) = (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)))) |
| 266 | 264, 265 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓)) = (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)))) |
| 267 | 263, 266 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))〉 = 〈(𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))), (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)))〉) |
| 268 | 1, 3, 111, 112, 151 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))) ∈ 𝐵) |
| 269 | 1, 3, 111, 123, 268 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))) ∈ 𝐵) |
| 270 | 95, 113, 122, 152 | submcld 33040 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)) ∈ 𝑆) |
| 271 | 95, 113, 122, 270 | submcld 33040 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))) ∈ 𝑆) |
| 272 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))) = (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))))) |
| 273 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))) = (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)))) |
| 274 | 1, 7, 109, 113, 3, 251, 267, 268, 269, 270, 271, 122, 272, 273 | erlbr2d 33268 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉 ∼ 〈(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))〉) |
| 275 | 250, 274 | erthi 8798 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
[〈(𝑎 ·
((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ = [〈(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 276 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 151, 122, 152, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) = [〈(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 277 | 1, 3, 111, 112, 126 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑒) ∈ 𝐵) |
| 278 | 95, 113, 122, 118 | submcld 33040 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑓) ∈ 𝑆) |
| 279 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 232, 277, 149, 278, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼ ) = [〈(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 280 | 275, 276,
279 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) = ([〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 281 | 157 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 282 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 126, 122, 118, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = [〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼ ) |
| 283 | 237, 282 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(+g‘𝐿)([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) = ([〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 284 | 280, 281,
283 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(+g‘𝐿)([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 285 | 160, 165 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 286 | 160, 163 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑧) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 287 | 242, 286 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧)) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(+g‘𝐿)([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 288 | 284, 285,
287 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . 5
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 289 | 288, 170 | r19.29vva 3216 |
. . . 4
⊢
((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 290 | 289, 174 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 291 | 290, 177 | r19.29vva 3216 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 292 | 1, 62, 3, 111, 117, 124, 126 | ringdird 20261 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) |
| 293 | 292 | opeq1d 4879 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉 = 〈(((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉) |
| 294 | 1, 3, 111, 117, 126, 119 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) · 𝑓) = ((𝑎 · 𝑑) · (𝑒 · 𝑓))) |
| 295 | 1, 3, 111, 117, 126 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) ∈ 𝐵) |
| 296 | 1, 3, 109, 119, 295 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) · 𝑓)) |
| 297 | 11, 95, 258, 112, 126, 116, 119 | cmn4d 33037 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) = ((𝑎 · 𝑑) · (𝑒 · 𝑓))) |
| 298 | 294, 296,
297 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) = (𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒))) |
| 299 | 1, 3, 111, 124, 126, 119 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑐 · 𝑏) · 𝑒) · 𝑓) = ((𝑐 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑓))) |
| 300 | 1, 3, 111, 124, 126 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒) ∈ 𝐵) |
| 301 | 1, 3, 109, 119, 300 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)) = (((𝑐 · 𝑏) · 𝑒) · 𝑓)) |
| 302 | 11, 95, 258, 121, 126, 123, 119 | cmn4d 33037 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓)) = ((𝑐 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑓))) |
| 303 | 299, 301,
302 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓)) = (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) |
| 304 | 298, 303 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))) = ((𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)) + (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)))) |
| 305 | 1, 62, 3, 111, 119, 295, 300 | ringdid 20260 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) = ((𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)) + (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)))) |
| 306 | 304, 305 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))) = (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)))) |
| 307 | 114, 278 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 308 | 1, 3, 111, 116, 307, 119 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑑 · (𝑏 · 𝑓)) · 𝑓) = (𝑑 · ((𝑏 · 𝑓) · 𝑓))) |
| 309 | 1, 3, 109, 123, 116 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) = (𝑑 · 𝑏)) |
| 310 | 309 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) = ((𝑑 · 𝑏) · 𝑓)) |
| 311 | 1, 3, 111, 116, 123, 119 | ringassd 20254 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑑 · 𝑏) · 𝑓) = (𝑑 · (𝑏 · 𝑓))) |
| 312 | 310, 311 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) = (𝑑 · (𝑏 · 𝑓))) |
| 313 | 312 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓) = ((𝑑 · (𝑏 · 𝑓)) · 𝑓)) |
| 314 | 1, 3, 109, 307, 116, 119 | crng12d 20255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓)) = (𝑑 · ((𝑏 · 𝑓) · 𝑓))) |
| 315 | 308, 313,
314 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓)) = (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓)) |
| 316 | 306, 315 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))〉 = 〈(𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))), (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓)〉) |
| 317 | 1, 62, 110, 295, 300 | grpcld 18965 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)) ∈ 𝐵) |
| 318 | 1, 3, 111, 119, 317 | ringcld 20257 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) ∈ 𝐵) |
| 319 | 145, 270 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) ∈ 𝑆) |
| 320 | 95, 113, 319, 118 | submcld 33040 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓) ∈ 𝑆) |
| 321 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) = (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)))) |
| 322 | 114, 319 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 323 | 1, 3, 109, 322, 119 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓) = (𝑓 · ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓))) |
| 324 | 1, 7, 109, 113, 3, 293, 316, 317, 318, 319, 320, 118, 321, 323 | erlbr2d 33268 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
〈(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉 ∼ 〈(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))〉) |
| 325 | 250, 324 | erthi 8798 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
[〈(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉] ∼ = [〈(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 326 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 148, 126, 149, 118, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = [〈(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)〉] ∼ ) |
| 327 | 1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 277, 234, 278, 152, 19 | rlocaddval 33272 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ ) = [〈(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))〉] ∼ ) |
| 328 | 325, 326,
327 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
([〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 329 | 155 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = ([〈((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 330 | 282, 239 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
)(+g‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) = ([〈(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)〉] ∼ )) |
| 331 | 328, 329,
330 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) →
(([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
)(+g‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 332 | 162, 163 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(+g‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼
)(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼ )) |
| 333 | 286, 244 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)) = (([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
)(+g‘𝐿)([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑒, 𝑓〉] ∼
))) |
| 334 | 331, 332,
333 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . 5
⊢
(((((((((((𝜑 ∧
(𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [〈𝑒, 𝑓〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 335 | 334, 170 | r19.29vva 3216 |
. . . 4
⊢
((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 336 | 335, 174 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 337 | 336, 177 | r19.29vva 3216 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧))) |
| 338 | 13, 26 | sseldd 3984 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) |
| 339 | 338, 26 | opelxpd 5724 |
. . 3
⊢ (𝜑 →
〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆)) |
| 340 | 28 | ecelqsi 8813 |
. . 3
⊢
(〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉 ∈ (𝐵 × 𝑆) → [〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 341 | 339, 340 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 →
[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) |
| 342 | 34 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(.r‘𝐿)𝑥) = ([〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ )) |
| 343 | 1, 3, 23, 36, 42 | ringlidmd 20269 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
((1r‘𝑅)
·
𝑎) = 𝑎) |
| 344 | 343, 49 | opeq12d 4881 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈((1r‘𝑅) · 𝑎), ((1r‘𝑅) · 𝑏)〉 = 〈𝑎, 𝑏〉) |
| 345 | 344 | eceq1d 8785 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈((1r‘𝑅) · 𝑎), ((1r‘𝑅) · 𝑏)〉] ∼ = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 346 | 38, 54 | sseldd 3984 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
(1r‘𝑅)
∈ 𝐵) |
| 347 | 1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 346, 42, 54, 39, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) =
[〈((1r‘𝑅) · 𝑎), ((1r‘𝑅) · 𝑏)〉] ∼ ) |
| 348 | 345, 347,
34 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 349 | 342, 348 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(.r‘𝐿)𝑥) = 𝑥) |
| 350 | 349, 59 | r19.29vva 3216 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) →
([〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼
(.r‘𝐿)𝑥) = 𝑥) |
| 351 | 1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 42, 346, 39, 54, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = [〈(𝑎 ·
(1r‘𝑅)),
(𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉] ∼ ) |
| 352 | 34 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = ([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ )) |
| 353 | 43 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → 𝑎 = (𝑎 ·
(1r‘𝑅))) |
| 354 | 353, 69 | opeq12d 4881 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
〈𝑎, 𝑏〉 = 〈(𝑎 ·
(1r‘𝑅)),
(𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉) |
| 355 | 354 | eceq1d 8785 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) →
[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ = [〈(𝑎 ·
(1r‘𝑅)),
(𝑏 ·
(1r‘𝑅))〉] ∼ ) |
| 356 | 351, 352,
355 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) |
| 357 | 356, 34 | eqtr4d 2780 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 358 | 357, 59 | r19.29vva 3216 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)[〈(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)〉] ∼ ) = 𝑥) |
| 359 | 1, 3, 80, 82, 83 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑎 · 𝑐) = (𝑐 · 𝑎)) |
| 360 | 1, 3, 80, 92, 90 | crngcomd 20252 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) = (𝑑 · 𝑏)) |
| 361 | 359, 360 | opeq12d 4881 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉 = 〈(𝑐 · 𝑎), (𝑑 · 𝑏)〉) |
| 362 | 361 | eceq1d 8785 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
[〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)〉] ∼ = [〈(𝑐 · 𝑎), (𝑑 · 𝑏)〉] ∼ ) |
| 363 | 1, 3, 62, 6, 7, 80, 81, 83, 82, 85, 84, 218 | rlocmulval 33273 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) = [〈(𝑐 · 𝑎), (𝑑 · 𝑏)〉] ∼ ) |
| 364 | 362, 219,
363 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) = ([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ )) |
| 365 | 78, 77 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑦(.r‘𝐿)𝑥) = ([〈𝑐, 𝑑〉] ∼
(.r‘𝐿)[〈𝑎, 𝑏〉] ∼ )) |
| 366 | 364, 217,
365 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . 5
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [〈𝑐, 𝑑〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥)) |
| 367 | 366, 103 | r19.29vva 3216 |
. . . 4
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [〈𝑎, 𝑏〉] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥)) |
| 368 | 367, 106 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥)) |
| 369 | 368 | 3impa 1110 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥)) |
| 370 | 14, 15, 16, 216, 228, 249, 291, 337, 341, 350, 358, 369 | iscrngd 20289 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing) |