Theorem rloccring 33060

Description: The ring localization 𝐿 of a commutative ring 𝑅 by a multiplicatively closed set 𝑆 is itself a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlocaddval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rlocaddval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
rlocaddval.3	⊢ + = (+g‘𝑅)
rlocaddval.4	⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
rlocaddval.5	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
rlocaddval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rlocaddval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
rloccring	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)

Proof of Theorem rloccring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlocaddval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		rlocaddval.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝑆) = (𝐵 × 𝑆)
6		rlocaddval.4	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑅 RLocal 𝑆)
7		rlocaddval.5	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
8		rlocaddval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9		rlocaddval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10, 1	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
12	11	submss 18769	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13	rlocbas 33057	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) = (Base‘𝐿))
15		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿))
16		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿))
17		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
18		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
19		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
20	8	crngringd 20198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 2	ring0cl 20215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
23		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
24	10, 23	ringidval 20135	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
25	24	subm0cl 18771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
26	9, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
27	22, 26	opelxpd 5717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
28	7	ovexi 7453	. . . . . . 7 ⊢ ∼ ∈ V
29	28	ecelqsi 8792	. . . . . 6 ⊢ (⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
30	27, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
31	30, 14	eleqtrd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ (Base‘𝐿))
32	14	eleq2d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)))
33	32	biimpar 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
34		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
35	34	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)𝑥) = ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ))
36	20	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ Ring)
37	9	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
38	37, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
39		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝑆)
40	38, 39	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
41	1, 3, 2, 36, 40	ringlzd 20243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((0g‘𝑅) · 𝑏) = (0g‘𝑅))
42		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
43	1, 3, 23, 36, 42	ringridmd 20221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑎 · (1r‘𝑅)) = 𝑎)
44	41, 43	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 · (1r‘𝑅))) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑎))
45		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
46	36	ringgrpd 20194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ Grp)
47	1, 45, 2, 46, 42	grplidd 18934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑎) = 𝑎)
48	44, 47	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 · (1r‘𝑅))) = 𝑎)
49	1, 3, 23, 36, 40	ringlidmd 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((1r‘𝑅) · 𝑏) = 𝑏)
50	48, 49	opeq12d 4883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨(((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 · (1r‘𝑅))), ((1r‘𝑅) · 𝑏)⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
51	50	eceq1d 8764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨(((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 · (1r‘𝑅))), ((1r‘𝑅) · 𝑏)⟩] ∼ = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
52	8	ad4antr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing)
53	22	ad4antr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
54	37, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
55	1, 3, 45, 6, 7, 52, 37, 53, 42, 54, 39, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = [⟨(((0g‘𝑅) · 𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎 · (1r‘𝑅))), ((1r‘𝑅) · 𝑏)⟩] ∼ )
56	51, 55, 34	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = 𝑥)
57	35, 56	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)𝑥) = 𝑥)
58		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
59	58	elrlocbasi 33056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
60	57, 59	r19.29vva 3203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)𝑥) = 𝑥)
61	33, 60	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → ([⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (+g‘𝐿)𝑥) = 𝑥)
62		rlocaddval.3	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
63	1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 42, 53, 39, 54, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = [⟨((𝑎 · (1r‘𝑅)) + ((0g‘𝑅) · 𝑏)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩] ∼ )
64	34	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)[⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ))
65	43, 41	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑎 · (1r‘𝑅)) + ((0g‘𝑅) · 𝑏)) = (𝑎 + (0g‘𝑅)))
66	1, 62, 2, 46, 42	grpridd 18935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑎 + (0g‘𝑅)) = 𝑎)
67	65, 66	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑎 = ((𝑎 · (1r‘𝑅)) + ((0g‘𝑅) · 𝑏)))
68	1, 3, 23, 36, 40	ringridmd 20221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑏 · (1r‘𝑅)) = 𝑏)
69	68	eqcomd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑏 = (𝑏 · (1r‘𝑅)))
70	67, 69	opeq12d 4883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨((𝑎 · (1r‘𝑅)) + ((0g‘𝑅) · 𝑏)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩)
71	70	eceq1d 8764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ = [⟨((𝑎 · (1r‘𝑅)) + ((0g‘𝑅) · 𝑏)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩] ∼ )
72	34, 71	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨((𝑎 · (1r‘𝑅)) + ((0g‘𝑅) · 𝑏)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩] ∼ )
73	63, 64, 72	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)[⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = 𝑥)
74	73, 59	r19.29vva 3203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(+g‘𝐿)[⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = 𝑥)
75	33, 74	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿)) → (𝑥(+g‘𝐿)[⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = 𝑥)
76	17, 18, 19, 31, 61, 75	ismgmid2 18631	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ = (0g‘𝐿))
77		simp-4r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
78		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )
79	77, 78	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ))
80	8	ad8antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing)
81	9	ad8antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
82		simp-6r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
83		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑐 ∈ 𝐵)
84		simp-5r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝑆)
85		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝑆)
86	1, 3, 62, 6, 7, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) = [⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ )
87	80	crnggrpd 20199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ Grp)
88	20	ad8antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ Ring)
89	81, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
90	89, 85	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝐵)
91	1, 3, 88, 82, 90	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑑) ∈ 𝐵)
92	89, 84	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
93	1, 3, 88, 83, 92	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝐵)
94	1, 62, 87, 91, 93	grpcld 18912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ 𝐵)
95	10, 3	mgpplusg 20090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
96	95, 81, 84, 85	submcld 32844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝑆)
97	94, 96	opelxpd 5717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
98	28	ecelqsi 8792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → [⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
100	86, 99	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
101	79, 100	eqeltrd 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
102		simp-4r 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
103	102	elrlocbasi 33056	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ∃𝑑 ∈ 𝑆 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )
104	101, 103	r19.29vva 3203	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
105		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
106	105	elrlocbasi 33056	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
107	104, 106	r19.29vva 3203	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
108	107	3impa 1107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
109	8	ad10antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ CRing)
110	109	crnggrpd 20199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ Grp)
111	20	ad10antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑅 ∈ Ring)
112		simp-9r 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
113	9	ad10antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
114	113, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
115		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝑆)
116	114, 115	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑑 ∈ 𝐵)
117	1, 3, 111, 112, 116	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑑) ∈ 𝐵)
118		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑓 ∈ 𝑆)
119	114, 118	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑓 ∈ 𝐵)
120	1, 3, 111, 117, 119	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) ∈ 𝐵)
121		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑐 ∈ 𝐵)
122		simp-8r 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝑆)
123	114, 122	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
124	1, 3, 111, 121, 123	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝐵)
125	1, 3, 111, 124, 119	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) ∈ 𝐵)
126		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑒 ∈ 𝐵)
127	1, 3, 111, 123, 116	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
128	1, 3, 111, 126, 127	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)) ∈ 𝐵)
129	1, 62, 110, 120, 125, 128	grpassd 18910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + (((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)))))
130	1, 3, 111, 112, 116, 119	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) = (𝑎 · (𝑑 · 𝑓)))
131	1, 3, 109, 121, 123, 119	cringmul32d 33028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) = ((𝑐 · 𝑓) · 𝑏))
132	1, 3, 109, 126, 123, 116	crng12d 20210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)) = (𝑏 · (𝑒 · 𝑑)))
133	1, 3, 111, 126, 116	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑒 · 𝑑) ∈ 𝐵)
134	1, 3, 109, 123, 133	crngcomd 20207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑒 · 𝑑)) = ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))
135	132, 134	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)) = ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))
136	131, 135	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)))
137	130, 136	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + (((𝑐 · 𝑏) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑)))) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))))
138	129, 137	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))))
139	1, 62, 3, 111, 117, 124, 119	ringdird 33030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)))
140	139	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = ((((𝑎 · 𝑑) · 𝑓) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑓)) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))))
141	1, 3, 111, 121, 119	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑐 · 𝑓) ∈ 𝐵)
142	1, 62, 3, 111, 141, 133, 123	ringdird 33030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏) = (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏)))
143	142	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) · 𝑏) + ((𝑒 · 𝑑) · 𝑏))))
144	138, 140, 143	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))) = ((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)))
145	1, 3, 111, 123, 116, 119	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) = (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)))
146	144, 145	opeq12d 4883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩ = ⟨((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩)
147	146	eceq1d 8764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → [⟨((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩] ∼ = [⟨((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
148	1, 62, 110, 117, 124	grpcld 18912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ 𝐵)
149	95, 113, 122, 115	submcld 32844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝑆)
150	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 148, 126, 149, 118, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = [⟨((((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑓) + (𝑒 · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩] ∼ )
151	1, 62, 110, 141, 133	grpcld 18912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) ∈ 𝐵)
152	95, 113, 115, 118	submcld 32844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑑 · 𝑓) ∈ 𝑆)
153	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 151, 122, 152, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ) = [⟨((𝑎 · (𝑑 · 𝑓)) + (((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)) · 𝑏)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
154	147, 150, 153	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
155	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 121, 122, 115, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) = [⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ )
156	155	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
157	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 121, 126, 115, 118, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = [⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ )
158	157	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
159	154, 156, 158	3eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
160		simp-7r 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
161		simp-4r 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )
162	160, 161	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ))
163		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )
164	162, 163	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
165	161, 163	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑦(+g‘𝐿)𝑧) = ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
166	160, 165	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
167	159, 164, 166	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)))
168		simpr3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
169	168	ad6antr 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
170	169	elrlocbasi 33056	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ 𝑆 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )
171	167, 170	r19.29vva 3203	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)))
172		simpr2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
173	172	ad5ant12 754	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
174	173	elrlocbasi 33056	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ∃𝑑 ∈ 𝑆 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )
175	171, 174	r19.29vva 3203	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)))
176		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
177	176	elrlocbasi 33056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
178	175, 177	r19.29vva 3203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)))
179	14, 15, 108, 178, 30, 60, 74	ismndd 18719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Mnd)
180		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
181	1, 180, 46, 42	grpinvcld 18953	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((invg‘𝑅)‘𝑎) ∈ 𝐵)
182	181, 39	opelxpd 5717	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
183	28	ecelqsi 8792	. . . . . 6 ⊢ (⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
184	182, 183	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
185		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑢 = [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑢 = [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ )
186		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑢 = [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
187	185, 186	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑢 = [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = ([⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ))
188	187	eqeq1d 2727	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑢 = [⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ↔ ([⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ))
189	1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 181, 42, 39, 39, 19	rlocaddval 33058	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = [⟨((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑏)⟩] ∼ )
190	1, 62, 2, 180, 46, 42	grplinvd 18959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (((invg‘𝑅)‘𝑎) + 𝑎) = (0g‘𝑅))
191	190	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((((invg‘𝑅)‘𝑎) + 𝑎) · 𝑏) = ((0g‘𝑅) · 𝑏))
192	1, 62, 3, 36, 181, 42, 40	ringdird 33030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((((invg‘𝑅)‘𝑎) + 𝑎) · 𝑏) = ((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)))
193	191, 192, 41	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)) = (0g‘𝑅))
194	193	opeq1d 4881	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑏)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)⟩)
195	194	eceq1d 8764	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨((((invg‘𝑅)‘𝑎) · 𝑏) + (𝑎 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑏)⟩] ∼ = [⟨(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)⟩] ∼ )
196	1, 2, 23, 3, 4, 5, 7, 8, 9	erler 33055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
197	196	ad4antr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
198		eqidd 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)⟩)
199		eqidd 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩)
200	95, 37, 39, 39	submcld 32844	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ 𝑆)
201	1, 3, 23, 36, 53	ringridmd 20221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((0g‘𝑅) · (1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
202	38, 200	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ 𝐵)
203	1, 3, 2, 36, 202	ringlzd 20243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏)) = (0g‘𝑅))
204	201, 203	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (((0g‘𝑅) · (1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏))) = ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
205	1, 2, 4	grpsubid 18988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
206	46, 53, 205	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((0g‘𝑅)(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
207	204, 206	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (((0g‘𝑅) · (1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏))) = (0g‘𝑅))
208	207	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑏) · (((0g‘𝑅) · (1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏)))) = ((𝑏 · 𝑏) · (0g‘𝑅)))
209	1, 3, 2, 36, 202	ringrzd 20244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑏) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
210	208, 209	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑏) · (((0g‘𝑅) · (1r‘𝑅))(-g‘𝑅)((0g‘𝑅) · (𝑏 · 𝑏)))) = (0g‘𝑅))
211	1, 7, 38, 2, 3, 4, 198, 199, 53, 53, 200, 54, 200, 210	erlbrd 33053	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)⟩ ∼ ⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩)
212	197, 211	erthi 8777	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨(0g‘𝑅), (𝑏 · 𝑏)⟩] ∼ = [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
213	189, 195, 212	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨((invg‘𝑅)‘𝑎), 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
214	184, 188, 213	rspcedvd 3608	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ∃𝑢 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )(𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
215	214, 59	r19.29vva 3203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → ∃𝑢 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )(𝑢(+g‘𝐿)𝑥) = [⟨(0g‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ )
216	14, 15, 76, 179, 215	isgrpd2e 18920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Grp)
217	77, 78	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ))
218		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
219	1, 3, 62, 6, 7, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) = [⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ )
220	1, 3, 88, 82, 83	ringcld 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
221	220, 96	opelxpd 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
222	28	ecelqsi 8792	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
223	221, 222	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → [⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
224	219, 223	eqeltrd 2825	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
225	217, 224	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
226	225, 103	r19.29vva 3203	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
227	226, 106	r19.29vva 3203	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
228	227	3impa 1107	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
229	1, 3, 111, 112, 121, 126	ringassd 20209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑐) · 𝑒) = (𝑎 · (𝑐 · 𝑒)))
230	229, 145	opeq12d 4883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨((𝑎 · 𝑐) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩ = ⟨(𝑎 · (𝑐 · 𝑒)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩)
231	230	eceq1d 8764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → [⟨((𝑎 · 𝑐) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩] ∼ = [⟨(𝑎 · (𝑐 · 𝑒)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
232	1, 3, 111, 112, 121	ringcld 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
233	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 232, 126, 149, 118, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = [⟨((𝑎 · 𝑐) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩] ∼ )
234	1, 3, 111, 121, 126	ringcld 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑐 · 𝑒) ∈ 𝐵)
235	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 234, 122, 152, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ) = [⟨(𝑎 · (𝑐 · 𝑒)), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
236	231, 233, 235	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
237	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 121, 122, 115, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) = [⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ )
238	237	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
239	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 121, 126, 115, 118, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = [⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ )
240	239	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
241	236, 238, 240	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
242	160, 161	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ))
243	242, 163	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
244	161, 163	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑦(.r‘𝐿)𝑧) = ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
245	160, 244	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
246	241, 243, 245	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
247	246, 170	r19.29vva 3203	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
248	247, 174	r19.29vva 3203	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
249	248, 177	r19.29vva 3203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
250	196	ad10antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ∼ Er (𝐵 × 𝑆))
251		eqidd 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩ = ⟨(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩)
252	1, 3, 111, 112, 123	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
253	1, 62, 3, 111, 252, 141, 133	ringdid 33029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑏) · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑))))
254	1, 3, 111, 112, 123, 151	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑏) · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))) = (𝑎 · (𝑏 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))))
255	253, 254	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑))) = (𝑎 · (𝑏 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))))
256	10	crngmgp 20193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
257	8, 256	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
258	257	ad10antr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
259	11, 95, 258, 112, 121, 123, 119	cmn4d 32841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) = ((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)))
260	11, 95, 258, 112, 126, 123, 116	cmn4d 32841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑)) = ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑)))
261	259, 260	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑏) · (𝑐 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑑))))
262	1, 3, 109, 123, 112, 151	crng12d 20210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))) = (𝑎 · (𝑏 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))))
263	255, 261, 262	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))) = (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))))
264	1, 3, 109, 127, 123, 119	crng12d 20210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓)) = (𝑏 · ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)))
265	145	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)) = (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))))
266	264, 265	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓)) = (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))))
267	263, 266	opeq12d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))⟩ = ⟨(𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))), (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)))⟩)
268	1, 3, 111, 112, 151	ringcld 20211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))) ∈ 𝐵)
269	1, 3, 111, 123, 268	ringcld 20211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))) ∈ 𝐵)
270	95, 113, 122, 152	submcld 32844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑑 · 𝑓)) ∈ 𝑆)
271	95, 113, 122, 270	submcld 32844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))) ∈ 𝑆)
272		eqidd 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))) = (𝑏 · (𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)))))
273		eqidd 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))) = (𝑏 · (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))))
274	1, 7, 109, 113, 3, 251, 267, 268, 269, 270, 271, 122, 272, 273	erlbr2d 33054	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩ ∼ ⟨(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))⟩)
275	250, 274	erthi 8777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → [⟨(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ = [⟨(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))⟩] ∼ )
276	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 151, 122, 152, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ) = [⟨(𝑎 · ((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑))), (𝑏 · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
277	1, 3, 111, 112, 126	ringcld 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑒) ∈ 𝐵)
278	95, 113, 122, 118	submcld 32844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑓) ∈ 𝑆)
279	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 232, 277, 149, 278, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ ) = [⟨(((𝑎 · 𝑐) · (𝑏 · 𝑓)) + ((𝑎 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑑))), ((𝑏 · 𝑑) · (𝑏 · 𝑓))⟩] ∼ )
280	275, 276, 279	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ) = ([⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ ))
281	157	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨((𝑐 · 𝑓) + (𝑒 · 𝑑)), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
282	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 112, 126, 122, 118, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = [⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ )
283	237, 282	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(+g‘𝐿)([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )) = ([⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ ))
284	280, 281, 283	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(+g‘𝐿)([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
285	160, 165	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
286	160, 163	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑧) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
287	242, 286	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧)) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(+g‘𝐿)([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
288	284, 285, 287	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧)))
289	288, 170	r19.29vva 3203	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧)))
290	289, 174	r19.29vva 3203	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧)))
291	290, 177	r19.29vva 3203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → (𝑥(.r‘𝐿)(𝑦(+g‘𝐿)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦)(+g‘𝐿)(𝑥(.r‘𝐿)𝑧)))
292	1, 62, 3, 111, 117, 124, 126	ringdird 33030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)))
293	292	opeq1d 4881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩ = ⟨(((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩)
294	1, 3, 111, 117, 126, 119	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) · 𝑓) = ((𝑎 · 𝑑) · (𝑒 · 𝑓)))
295	1, 3, 111, 117, 126	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) ∈ 𝐵)
296	1, 3, 109, 119, 295	crngcomd 20207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)) = (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) · 𝑓))
297	11, 95, 258, 112, 126, 116, 119	cmn4d 32841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) = ((𝑎 · 𝑑) · (𝑒 · 𝑓)))
298	294, 296, 297	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) = (𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)))
299	1, 3, 111, 124, 126, 119	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑐 · 𝑏) · 𝑒) · 𝑓) = ((𝑐 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑓)))
300	1, 3, 111, 124, 126	ringcld 20211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒) ∈ 𝐵)
301	1, 3, 109, 119, 300	crngcomd 20207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)) = (((𝑐 · 𝑏) · 𝑒) · 𝑓))
302	11, 95, 258, 121, 126, 123, 119	cmn4d 32841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓)) = ((𝑐 · 𝑏) · (𝑒 · 𝑓)))
303	299, 301, 302	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓)) = (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)))
304	298, 303	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))) = ((𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)) + (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))))
305	1, 62, 3, 111, 119, 295, 300	ringdid 33029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) = ((𝑓 · ((𝑎 · 𝑑) · 𝑒)) + (𝑓 · ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))))
306	304, 305	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))) = (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))))
307	114, 278	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑓) ∈ 𝐵)
308	1, 3, 111, 116, 307, 119	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑑 · (𝑏 · 𝑓)) · 𝑓) = (𝑑 · ((𝑏 · 𝑓) · 𝑓)))
309	1, 3, 109, 123, 116	crngcomd 20207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) = (𝑑 · 𝑏))
310	309	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) = ((𝑑 · 𝑏) · 𝑓))
311	1, 3, 111, 116, 123, 119	ringassd 20209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑑 · 𝑏) · 𝑓) = (𝑑 · (𝑏 · 𝑓)))
312	310, 311	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) = (𝑑 · (𝑏 · 𝑓)))
313	312	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓) = ((𝑑 · (𝑏 · 𝑓)) · 𝑓))
314	1, 3, 109, 307, 116, 119	crng12d 20210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓)) = (𝑑 · ((𝑏 · 𝑓) · 𝑓)))
315	308, 313, 314	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓)) = (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓))
316	306, 315	opeq12d 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))⟩ = ⟨(𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))), (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓)⟩)
317	1, 62, 110, 295, 300	grpcld 18912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒)) ∈ 𝐵)
318	1, 3, 111, 119, 317	ringcld 20211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) ∈ 𝐵)
319	145, 270	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) ∈ 𝑆)
320	95, 113, 319, 118	submcld 32844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓) ∈ 𝑆)
321		eqidd 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))) = (𝑓 · (((𝑎 · 𝑑) · 𝑒) + ((𝑐 · 𝑏) · 𝑒))))
322	114, 319	sseldd 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) ∈ 𝐵)
323	1, 3, 109, 322, 119	crngcomd 20207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (((𝑏 · 𝑑) · 𝑓) · 𝑓) = (𝑓 · ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)))
324	1, 7, 109, 113, 3, 293, 316, 317, 318, 319, 320, 118, 321, 323	erlbr2d 33054	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ⟨(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩ ∼ ⟨(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))⟩)
325	250, 324	erthi 8777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → [⟨(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩] ∼ = [⟨(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
326	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 148, 126, 149, 118, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = [⟨(((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑒), ((𝑏 · 𝑑) · 𝑓)⟩] ∼ )
327	1, 3, 62, 6, 7, 109, 113, 277, 234, 278, 152, 19	rlocaddval 33058	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ) = [⟨(((𝑎 · 𝑒) · (𝑑 · 𝑓)) + ((𝑐 · 𝑒) · (𝑏 · 𝑓))), ((𝑏 · 𝑓) · (𝑑 · 𝑓))⟩] ∼ )
328	325, 326, 327	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ([⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
329	155	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = ([⟨((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
330	282, 239	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )(+g‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )) = ([⟨(𝑎 · 𝑒), (𝑏 · 𝑓)⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨(𝑐 · 𝑒), (𝑑 · 𝑓)⟩] ∼ ))
331	328, 329, 330	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )(+g‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
332	162, 163	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (+g‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ )(.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ))
333	286, 244	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)) = (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )(+g‘𝐿)([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ )))
334	331, 332, 333	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = [⟨𝑒, 𝑓⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
335	334, 170	r19.29vva 3203	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
336	335, 174	r19.29vva 3203	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
337	336, 177	r19.29vva 3203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))) → ((𝑥(+g‘𝐿)𝑦)(.r‘𝐿)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝐿)𝑧)(+g‘𝐿)(𝑦(.r‘𝐿)𝑧)))
338	13, 26	sseldd 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
339	338, 26	opelxpd 5717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆))
340	28	ecelqsi 8792	. . 3 ⊢ (⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩ ∈ (𝐵 × 𝑆) → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
341	339, 340	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → [⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ))
342	34	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ))
343	1, 3, 23, 36, 42	ringlidmd 20220	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ((1r‘𝑅) · 𝑎) = 𝑎)
344	343, 49	opeq12d 4883	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨((1r‘𝑅) · 𝑎), ((1r‘𝑅) · 𝑏)⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
345	344	eceq1d 8764	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨((1r‘𝑅) · 𝑎), ((1r‘𝑅) · 𝑏)⟩] ∼ = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
346	38, 54	sseldd 3977	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
347	1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 346, 42, 54, 39, 218	rlocmulval 33059	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = [⟨((1r‘𝑅) · 𝑎), ((1r‘𝑅) · 𝑏)⟩] ∼ )
348	345, 347, 34	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = 𝑥)
349	342, 348	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = 𝑥)
350	349, 59	r19.29vva 3203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → ([⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ (.r‘𝐿)𝑥) = 𝑥)
351	1, 3, 62, 6, 7, 52, 37, 42, 346, 39, 54, 218	rlocmulval 33059	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = [⟨(𝑎 · (1r‘𝑅)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩] ∼ )
352	34	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ))
353	43	eqcomd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → 𝑎 = (𝑎 · (1r‘𝑅)))
354	353, 69	opeq12d 4883	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(𝑎 · (1r‘𝑅)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩)
355	354	eceq1d 8764	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ = [⟨(𝑎 · (1r‘𝑅)), (𝑏 · (1r‘𝑅))⟩] ∼ )
356	351, 352, 355	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ )
357	356, 34	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = 𝑥)
358	357, 59	r19.29vva 3203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)[⟨(1r‘𝑅), (1r‘𝑅)⟩] ∼ ) = 𝑥)
359	1, 3, 80, 82, 83	crngcomd 20207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑎 · 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
360	1, 3, 80, 92, 90	crngcomd 20207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑏 · 𝑑) = (𝑑 · 𝑏))
361	359, 360	opeq12d 4883	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩ = ⟨(𝑐 · 𝑎), (𝑑 · 𝑏)⟩)
362	361	eceq1d 8764	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → [⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 𝑑)⟩] ∼ = [⟨(𝑐 · 𝑎), (𝑑 · 𝑏)⟩] ∼ )
363	1, 3, 62, 6, 7, 80, 81, 83, 82, 85, 84, 218	rlocmulval 33059	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) = [⟨(𝑐 · 𝑎), (𝑑 · 𝑏)⟩] ∼ )
364	362, 219, 363	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) = ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ))
365	78, 77	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑦(.r‘𝐿)𝑥) = ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ (.r‘𝐿)[⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ))
366	364, 217, 365	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = [⟨𝑐, 𝑑⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥))
367	366, 103	r19.29vva 3203	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = [⟨𝑎, 𝑏⟩] ∼ ) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥))
368	367, 106	r19.29vva 3203	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥))
369	368	3impa 1107	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐵 × 𝑆) / ∼ )) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐿)𝑥))
370	14, 15, 16, 216, 228, 249, 291, 337, 341, 350, 358, 369	iscrngd 20240	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944  ⟨cop 4636   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   Er wer 8722  [cec 8723   / cqs 8724  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424  SubMndcsubmnd 18742  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20086  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   ~_RL cerl 33043   RLocal crloc 33044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-0g 17426  df-imas 17493  df-qus 17494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-erl 33045  df-rloc 33046

This theorem is referenced by:  rloc0g  33061  rloc1r  33062  rlocf1  33063  fracfld  33094