Theorem eldmressn 47933

Description: Element of the domain of a restriction to a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldmressn	⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐴)

Proof of Theorem eldmressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) ↔ (𝐵 ∈ {𝐴} ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹))
2		elsni 4604	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴} ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝐵 = 𝐴)
4	1, 3	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) → 𝐵 = 𝐴)
5		dmres 6009	. 2 ⊢ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐹)
6	4, 5	eleq2s 2880	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  {csn 4587  dom cdm 5659   ↾ cres 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-dm 5669  df-res 5671

This theorem is used by:  dfdfat2  48024