Theorem eldmressn 48322

Description: Element of the domain of a restriction to a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldmressn	⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐴)

Proof of Theorem eldmressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4096	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) ↔ (𝐵 ∈ {𝐴} ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹))
2		elsni 4601	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴} ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝐵 = 𝐴)
4	1, 3	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) → 𝐵 = 𝐴)
5		dmres 6016	. 2 ⊢ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐹)
6	4, 5	eleq2s 2882	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  {csn 4588  dom cdm 5656   ↾ cres 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-dm 5666  df-res 5668

This theorem is used by:  dfdfat2  48413