Theorem eldmressn 47035

Description: Element of the domain of a restriction to a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldmressn	⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐴)

Proof of Theorem eldmressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3930	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) ↔ (𝐵 ∈ {𝐴} ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹))
2		elsni 4606	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴} ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → 𝐵 = 𝐴)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) → 𝐵 = 𝐴)
5		dmres 5983	. 2 ⊢ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐹)
6	4, 5	eleq2s 2846	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913  {csn 4589  dom cdm 5638   ↾ cres 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-dm 5648  df-res 5650

This theorem is referenced by:  dfdfat2  47126