Theorem dmres 5869

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3497	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 5764	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.42v 1950	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
4		vex 3497	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelresi 5855	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
6	5	exbii 1844	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
7	1	eldm2 5764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
9	3, 6, 8	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴))
10	2, 9	bitr2i 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 4179	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ dom 𝐴) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12	11	eqcomi 2830	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934  ⟨cop 4566  dom cdm 5549   ↾ cres 5551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-dm 5559  df-res 5561

This theorem is referenced by:  ssdmres  5870  dmresexg  5871  dmressnsn  5888  eldmeldmressn  5890  imadisj  5942  imainrect  6032  dmresv  6051  resdmres  6083  coeq0  6102  funimacnv  6429  fnresdisj  6461  fnres  6468  fresaunres2  6544  nfvres  6700  ssimaex  6742  fnreseql  6812  respreima  6830  fveqressseq  6841  ffvresb  6882  fsnunfv  6943  funfvima  6986  funiunfv  7001  offres  7678  fnwelem  7819  ressuppss  7843  ressuppssdif  7845  smores  7983  smores3  7984  smores2  7985  tz7.44-2  8037  tz7.44-3  8038  frfnom  8064  sbthlem5  8625  sbthlem7  8627  domss2  8670  imafi  8811  ordtypelem4  8979  wdomima2g  9044  r0weon  9432  imadomg  9950  dmaddpi  10306  dmmulpi  10307  ltweuz  13323  dmhashres  13695  limsupgle  14828  fvsetsid  16509  setsdm  16511  setsfun  16512  setsfun0  16513  setsres  16519  lubdm  17583  glbdm  17596  gsumzaddlem  19035  dprdcntz2  19154  lmres  21902  imacmp  21999  qtoptop2  22301  kqdisj  22334  metreslem  22966  setsmstopn  23082  ismbl  24121  mbfres  24239  dvres3a  24506  cpnres  24528  dvlipcn  24585  dvlip2  24586  c1lip3  24590  dvcnvrelem1  24608  dvcvx  24611  dvlog  25228  uhgrspansubgrlem  27066  trlsegvdeglem4  27996  hlimcaui  29007  funresdm1  30349  ftc2re  31864  dfrdg2  33035  frrlem11  33128  frrlem12  33129  sltres  33164  nolesgn2ores  33174  nodense  33191  nosupres  33202  nosupbnd1lem1  33203  nosupbnd2lem1  33210  nosupbnd2  33211  bj-fvsnun2  34532  caures  35029  ssbnd  35060  mapfzcons1  39307  diophrw  39349  eldioph2lem1  39350  eldioph2lem2  39351  rp-imass  40110  dmresss  41494  limsupresxr  42040  liminfresxr  42041  fourierdlem93  42478  fouriersw  42510  sssmf  43009  eldmressn  43266  fnresfnco  43270  afvres  43365  afv2res  43432  setrec2lem1  44790