Theorem dmres 5967

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 5848	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.42v 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
4		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelresi 5942	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
6	5	exbii 1848	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
7	1	eldm2 5848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴))
9	3, 6, 8	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴))
10	2, 9	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 4165	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ dom 𝐴) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12	11	eqcomi 2738	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904  ⟨cop 4585  dom cdm 5623   ↾ cres 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-dm 5633  df-res 5635

This theorem is referenced by:  ssdmres  5968  dmresexg  5969  dmressnsn  5978  eldmeldmressn  5980  relresdm1  5988  imadisj  6035  imainrect  6134  dmresv  6153  resdmres  6185  resdmss  6188  coeq0  6208  resssxp  6222  snres0  6250  funimacnv  6567  fnresdisj  6606  fnres  6613  fresaunres2  6700  nfvres  6865  ssimaex  6912  fnreseql  6986  respreima  7004  fveqressseq  7017  ffvresb  7063  fsnunfv  7127  funfvima  7170  funiunfv  7188  offres  7925  fnwelem  8071  ressuppss  8123  ressuppssdif  8125  frrlem11  8236  frrlem12  8237  smores  8282  smores3  8283  smores2  8284  tz7.44-2  8336  tz7.44-3  8337  frfnom  8364  sbthlem5  9015  sbthlem7  9017  domss2  9060  imafi  9222  ordtypelem4  9432  wdomima2g  9497  r0weon  9925  imadomg  10447  dmaddpi  10803  dmmulpi  10804  ltweuz  13887  dmhashres  14267  limsupgle  15403  fvsetsid  17098  setsdm  17100  setsfun  17101  setsfun0  17102  setsres  17108  lubdm  18274  glbdm  18287  gsumzaddlem  19819  dprdcntz2  19938  lmres  23204  imacmp  23301  qtoptop2  23603  kqdisj  23636  metreslem  24267  setsmstopn  24383  ismbl  25444  mbfres  25562  dvres3a  25832  cpnres  25856  dvlipcn  25916  dvlip2  25917  c1lip3  25921  dvcnvrelem1  25939  dvcvx  25942  dvlog  26577  sltres  27591  nolesgn2ores  27601  nogesgn1ores  27603  nodense  27621  nosupres  27636  nosupbnd1lem1  27637  nosupbnd2lem1  27644  nosupbnd2  27645  noinfres  27651  noinfbnd1lem1  27652  noinfbnd2lem1  27659  noetasuplem2  27663  noetainflem2  27667  onsiso  28193  bdayn0sf1o  28283  uhgrspansubgrlem  29254  trlsegvdeglem4  30186  hlimcaui  31199  ftc2re  34585  dfrdg2  35788  bj-fvsnun2  37249  caures  37759  ssbnd  37787  mapfzcons1  42710  diophrw  42752  eldioph2lem1  42753  eldioph2lem2  42754  tfsconcatrev  43341  limsupresxr  45767  liminfresxr  45768  fourierdlem93  46200  fouriersw  46232  sssmf  46739  eldmressn  47041  fnresfnco  47045  afvres  47176  afv2res  47243  resinsn  48876  resinsnALT  48877  tposrescnv  48883