Theorem fveqsb 45189

Description: Implicit substitution of a value of a function into a wff. (Contributed by Andrew Salmon, 1-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fveqsb.2	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fveqsb.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜓

Assertion

Ref	Expression
fveqsb	⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝜓 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fveqsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
2		fveqsb.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		fveqsb.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbciegf 3781	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6		fvsb 45188	. 2 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))
7	5, 6	bitr3id 288	1 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝜓 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1808  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  ∃!weu 2595  Vcvv 3454  [wsbc 3743   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4872  df-iota 6492  df-fv 6544

This theorem is used by: (None)