Theorem fveqsb 45478

Description: Implicit substitution of a value of a function into a wff. (Contributed by Andrew Salmon, 1-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fveqsb.2	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fveqsb.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜓

Assertion

Ref	Expression
fveqsb	⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝜓 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fveqsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
2		fveqsb.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		fveqsb.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbciegf 3776	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6		fvsb 45477	. 2 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))
7	5, 6	bitr3id 288	1 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝜓 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593  Vcvv 3450  [wsbc 3738   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-sn 4584  df-pr 4586  df-uni 4867  df-iota 6494  df-fv 6546

This theorem is used by: (None)