Theorem fveqsb 45379

Description: Implicit substitution of a value of a function into a wff. (Contributed by Andrew Salmon, 1-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fveqsb.2	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fveqsb.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜓

Assertion

Ref	Expression
fveqsb	⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝜓 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fveqsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6886	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
2		fveqsb.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		fveqsb.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbciegf 3776	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
6		fvsb 45378	. 2 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → ([(𝐹‘𝐴) / 𝑥]𝜑 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))
7	5, 6	bitr3id 288	1 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝜓 ↔ ∃𝑥(∀𝑦(𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593  Vcvv 3450  [wsbc 3738   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4279  df-sn 4584  df-pr 4586  df-uni 4867  df-iota 6483  df-fv 6535

This theorem is used by: (None)