HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcom 30034
Description: Scalar multiplication commutative law. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcom ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐ต ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))

Proof of Theorem hvmulcom
StepHypRef Expression
1 mulcom 11145 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
21oveq1d 7376 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ))
323adant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ))
4 ax-hvmulass 29998 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
5 ax-hvmulass 29998 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
653com12 1124 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยทโ„Ž ๐ถ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
73, 4, 63eqtr3d 2781 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐ต ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   ยท cmul 11064   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-mulcom 11123  ax-hvmulass 29998
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364
This theorem is referenced by:  hvmulcomi  30038  hvsubdistr1  30040  lnopmi  30991
  Copyright terms: Public domain W3C validator