HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopmi 30991
Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopm.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopmi (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡) โˆˆ LinOp)

Proof of Theorem lnopmi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopm.1 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
21lnopfi 30960 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
3 homulcl 30750 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
42, 3mpan2 690 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
5 hvmulcl 30004 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
6 hvaddcl 30003 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
75, 6sylan 581 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
8 homval 30732 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
92, 8mp3an2 1450 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
107, 9sylan2 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
11 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
122ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
13 hvmulcl 30004 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
1412, 13sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
152ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
16 ax-hvdistr1 29999 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
1711, 14, 15, 16syl3an 1161 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
18173expb 1121 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
191lnopli 30959 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
20193expa 1119 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
2120oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2221adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
23 homval 30732 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
242, 23mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
2524adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
2625oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
27 hvmulcom 30034 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2812, 27syl3an3 1166 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
29283expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3026, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
31 homval 30732 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
322, 31mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
3330, 32oveqan12d 7380 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
3433anandis 677 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
3518, 22, 343eqtr4rd 2784 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
3610, 35eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
3736exp32 422 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))))
3837ralrimdv 3146 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
3938ralrimivv 3192 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
40 ellnop 30849 . 2 ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
414, 39, 40sylanbrc 584 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡) โˆˆ LinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   ยทop chot 29930  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-mulcom 11123  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-homul 30722  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  lnophdi  30993  bdophmi  31023
  Copyright terms: Public domain W3C validator