HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr1 28976
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11823 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 28940 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
4 ax-hvdistr1 28935 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))))
53, 4syl3an3 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))))
6 hvmulcom 28970 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (-1 · 𝐶)) = (-1 · (𝐴 · 𝐶)))
71, 6mp3an2 1450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (-1 · 𝐶)) = (-1 · (𝐴 · 𝐶)))
87oveq2d 7180 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
983adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
105, 9eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
11 hvsubval 28943 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
12113adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
1312oveq2d 7180 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))))
14 hvmulcl 28940 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
15143adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
16 hvmulcl 28940 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
17163adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
18 hvsubval 28943 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
1915, 17, 18syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
2010, 13, 193eqtr4d 2783 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  (class class class)co 7164  cc 10606  1c1 10609  -cneg 10942  chba 28846   + cva 28847   · csm 28848   cmv 28852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-hfvmul 28932  ax-hvmulass 28934  ax-hvdistr1 28935
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751  df-sub 10943  df-neg 10944  df-hvsub 28898
This theorem is referenced by:  hvsubdistr1i  28979  hvmulcan  28999
  Copyright terms: Public domain W3C validator