Theorem hvsubdistr1 31137

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12142	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 31101	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4		ax-hvdistr1 31096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
5	3, 4	syl3an3 1166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
6		hvmulcom 31131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
7	1, 6	mp3an2 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
8	7	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
9	8	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
10	5, 9	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
11		hvsubval 31104	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
12	11	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
13	12	oveq2d 7384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
14		hvmulcl 31101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 31101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubval 31104	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
19	15, 17, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
20	10, 13, 19	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039  -cneg 11377   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   ·_ℎ csm 31009   −_ℎ cmv 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-hvsub 31059

This theorem is referenced by:  hvsubdistr1i  31140  hvmulcan  31160