HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr1 28820
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11745 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 28784 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
31, 2mpan 688 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
4 ax-hvdistr1 28779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))))
53, 4syl3an3 1161 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))))
6 hvmulcom 28814 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (-1 · 𝐶)) = (-1 · (𝐴 · 𝐶)))
71, 6mp3an2 1445 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (-1 · 𝐶)) = (-1 · (𝐴 · 𝐶)))
87oveq2d 7166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
983adant2 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
105, 9eqtrd 2856 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
11 hvsubval 28787 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
12113adant1 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
1312oveq2d 7166 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))))
14 hvmulcl 28784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
15143adant3 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
16 hvmulcl 28784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
17163adant2 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
18 hvsubval 28787 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
1915, 17, 18syl2anc 586 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
2010, 13, 193eqtr4d 2866 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7150  cc 10529  1c1 10532  -cneg 10865  chba 28690   + cva 28691   · csm 28692   cmv 28696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-hvsub 28742
This theorem is referenced by:  hvsubdistr1i  28823  hvmulcan  28843
  Copyright terms: Public domain W3C validator