Theorem hvsubdistr1 28828

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11754	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 28792	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4		ax-hvdistr1 28787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
5	3, 4	syl3an3 1161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
6		hvmulcom 28822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
7	1, 6	mp3an2 1445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
8	7	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
9	8	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
10	5, 9	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
11		hvsubval 28795	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
12	11	3adant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
13	12	oveq2d 7174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
14		hvmulcl 28792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 28792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubval 28795	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
19	15, 17, 18	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
20	10, 13, 19	3eqtr4d 2868	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540  -cneg 10873   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699   ·_ℎ csm 28700   −_ℎ cmv 28704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-hvsub 28750

This theorem is referenced by:  hvsubdistr1i  28831  hvmulcan  28851