Theorem hvsubdistr1 31666

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12318	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 31630	. . . . 5 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4		ax-hvdistr1 31625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))))
5	3, 4	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))))
6		hvmulcom 31660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) = ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
7	1, 6	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) = ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
8	7	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
9	8	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
10	5, 9	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
11		hvsubval 31633	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
12	11	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
13	12	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))))
14		hvmulcl 31630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 31630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubval 31633	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
19	15, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
20	10, 13, 19	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  1c1 11214   -cneg 11555   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   ·_ℎ csm 31538   −_ℎ cmv 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulass 31624  ax-hvdistr1 31625

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557  df-hvsub 31588

This theorem is used by:  hvsubdistr1i  31669  hvmulcan  31689