HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubass 30292
Description: Hilbert vector space associative law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubass ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)))

Proof of Theorem hvsubass
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12325 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
2 hvmulcl 30261 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
31, 2mpan 688 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
4 hvaddsubass 30289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
53, 4syl3an2 1164 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
6 hvsubval 30264 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
763adant3 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
87oveq1d 7423 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆ’โ„Ž ๐ถ))
9 simp1 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
10 hvaddcl 30260 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
11103adant1 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
12 hvsubval 30264 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ))))
139, 11, 12syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ))))
14 hvsubval 30264 . . . . . . 7 (((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
153, 14sylan 580 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
16153adant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
17 ax-hvdistr1 30256 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
181, 17mp3an1 1448 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
19183adant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
2016, 19eqtr4d 2775 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)))
2120oveq2d 7424 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ))))
2213, 21eqtr4d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
235, 8, 223eqtr4d 2782 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11444   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169   โˆ’โ„Ž cmv 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hfvadd 30248  ax-hvass 30250  ax-hfvmul 30253  ax-hvdistr1 30256
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-hvsub 30219
This theorem is referenced by:  hvsub32  30293  hvsubassi  30303  pjhthlem1  30639
  Copyright terms: Public domain W3C validator