HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubass 28490
Description: Hilbert vector space associative law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubass ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubass
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11501 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 28459 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
31, 2mpan 680 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
4 hvaddsubass 28487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
53, 4syl3an2 1164 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
6 hvsubval 28462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
763adant3 1123 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
87oveq1d 6939 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶))
9 simp1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
10 hvaddcl 28458 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
11103adant1 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
12 hvsubval 28462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
139, 11, 12syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
14 hvsubval 28462 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
153, 14sylan 575 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
16153adant1 1121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
17 ax-hvdistr1 28454 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
181, 17mp3an1 1521 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
19183adant1 1121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
2016, 19eqtr4d 2817 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = (-1 · (𝐵 + 𝐶)))
2120oveq2d 6940 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
2213, 21eqtr4d 2817 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
235, 8, 223eqtr4d 2824 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  (class class class)co 6924  cc 10272  1c1 10275  -cneg 10609  chba 28365   + cva 28366   · csm 28367   cmv 28371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-hfvadd 28446  ax-hvass 28448  ax-hfvmul 28451  ax-hvdistr1 28454
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-neg 10611  df-hvsub 28417
This theorem is referenced by:  hvsub32  28491  hvsubassi  28501  pjhthlem1  28839
  Copyright terms: Public domain W3C validator