HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubass 30791
Description: Hilbert vector space associative law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubass ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)))

Proof of Theorem hvsubass
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12325 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
2 hvmulcl 30760 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
31, 2mpan 687 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
4 hvaddsubass 30788 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
53, 4syl3an2 1161 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
6 hvsubval 30763 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
763adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
87oveq1d 7417 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆ’โ„Ž ๐ถ))
9 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
10 hvaddcl 30759 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
11103adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
12 hvsubval 30763 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ))))
139, 11, 12syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ))))
14 hvsubval 30763 . . . . . . 7 (((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
153, 14sylan 579 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
16153adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
17 ax-hvdistr1 30755 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
181, 17mp3an1 1444 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
19183adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ถ)))
2016, 19eqtr4d 2767 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)))
2120oveq2d 7418 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ))))
2213, 21eqtr4d 2767 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = (๐ด +โ„Ž ((-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
235, 8, 223eqtr4d 2774 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ถ) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  1c1 11108  -cneg 11444   โ„‹chba 30666   +โ„Ž cva 30667   ยทโ„Ž csm 30668   โˆ’โ„Ž cmv 30672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-hfvadd 30747  ax-hvass 30749  ax-hfvmul 30752  ax-hvdistr1 30755
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-hvsub 30718
This theorem is referenced by:  hvsub32  30792  hvsubassi  30802  pjhthlem1  31138
  Copyright terms: Public domain W3C validator