HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubass 30284
Description: Hilbert vector space associative law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubass ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubass
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12322 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 30253 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
31, 2mpan 688 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
4 hvaddsubass 30281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
53, 4syl3an2 1164 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
6 hvsubval 30256 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
763adant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
87oveq1d 7420 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶))
9 simp1 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
10 hvaddcl 30252 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
11103adant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
12 hvsubval 30256 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
139, 11, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
14 hvsubval 30256 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
153, 14sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
16153adant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
17 ax-hvdistr1 30248 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
181, 17mp3an1 1448 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
19183adant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
2016, 19eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = (-1 · (𝐵 + 𝐶)))
2120oveq2d 7421 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
2213, 21eqtr4d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
235, 8, 223eqtr4d 2782 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7405  cc 11104  1c1 11107  -cneg 11441  chba 30159   + cva 30160   · csm 30161   cmv 30165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hfvadd 30240  ax-hvass 30242  ax-hfvmul 30245  ax-hvdistr1 30248
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30211
This theorem is referenced by:  hvsub32  30285  hvsubassi  30295  pjhthlem1  30631
  Copyright terms: Public domain W3C validator