Theorem iota4an 6525

Description: Theorem *14.23 in [WhiteheadRussell] p. 191. (Contributed by Andrew Salmon, 12-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iota4an	⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]𝜑)

Proof of Theorem iota4an

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iota4 6524	. 2 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥](𝜑 ∧ 𝜓))
2		iotaex 6519	. . . 4 ⊢ (℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) ∈ V
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
4	3	sbcth 3762	. . . 4 ⊢ ((℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) ∈ V → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑))
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
6		sbcimg 3795	. . . 4 ⊢ ((℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) ∈ V → ([(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑) ↔ ([(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥](𝜑 ∧ 𝜓) → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]𝜑)))
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑) ↔ ([(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥](𝜑 ∧ 𝜓) → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]𝜑))
8	5, 7	mpbi 233	. 2 ⊢ ([(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥](𝜑 ∧ 𝜓) → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]𝜑)
9	1, 8	syl 18	1 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → [(℩𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) / 𝑥]𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2599  Vcvv 3458  [wsbc 3747  ℩cio 6497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-sn 4595  df-pr 4597  df-uni 4878  df-iota 6499

This theorem is used by: (None)