Theorem mosn 49650

Description: "At most one" element in a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mosn	⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmosn 4687	. . 3 ⊢ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤
2		rmotru 49640	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵} ↔ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤)
3	1, 2	mpbir 234	. 2 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}
4		eleq2 2854	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
5	4	mobidv 2579	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}))
6	3, 5	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  ∃*wmo 2567  ∃*wrmo 3370  {csn 4591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-nul 4287  df-sn 4592

This theorem is used by:  mo0  49651  mosssn  49652  mo0sn  49653  f1omo  49730  oppcmndclem  49854  indcthing  50297  discthing  50298  termcbasmo  50320  setcsnterm  50327  idfudiag1  50362