Theorem mosn 49303

Description: "At most one" element in a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mosn	⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmosn 4664	. . 3 ⊢ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤
2		rmotru 49293	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵} ↔ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}
4		eleq2 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
5	4	mobidv 2550	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}))
6	3, 5	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ∃*wrmo 3342  {csn 4568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-nul 4275  df-sn 4569

This theorem is referenced by:  mo0  49304  mosssn  49305  mo0sn  49306  f1omo  49383  oppcmndclem  49507  indcthing  49950  discthing  49951  termcbasmo  49973  setcsnterm  49980  idfudiag1  50015