Theorem mosn 48737

Description: "At most one" element in a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mosn	⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmosn 4718	. . 3 ⊢ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤
2		rmotru 48728	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵} ↔ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}
4		eleq2 2829	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
5	4	mobidv 2548	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}))
6	3, 5	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2537  ∃*wrmo 3378  {csn 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-nul 4333  df-sn 4626

This theorem is referenced by:  mo0  48738  mosssn  48739  mo0sn  48740  oppcmndclem  48920  termcbasmo  49154  setcsnterm  49161  idfudiag1  49183