Theorem mosn 50255

Description: "At most one" element in a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mosn	⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmosn 4682	. . 3 ⊢ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤
2		rmotru 50244	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵} ↔ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤)
3	1, 2	mpbir 234	. 2 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}
4		eleq2 2853	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
5	4	mobidv 2577	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}))
6	3, 5	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∃*wmo 2565  ∃*wrmo 3368  {csn 4588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-v 3456  df-sbc 3743  df-dif 4050  df-nul 4282  df-sn 4589

This theorem is used by:  mo0  50256  mosssn  50257  mo0sn  50258  f1omo  50338  oppcmndclem  50462  indcthing  50926  discthing  50927  termcbasmo  50949  setcsnterm  50956  idfudiag1  50991