Theorem mosn 49744

Description: "At most one" element in a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mosn	⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mosn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmosn 4680	. . 3 ⊢ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤
2		rmotru 49734	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵} ↔ ∃*𝑥 ∈ {𝐵}⊤)
3	1, 2	mpbir 234	. 2 ⊢ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}
4		eleq2 2849	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
5	4	mobidv 2574	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ {𝐵}))
6	3, 5	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562  ∃*wrmo 3364  {csn 4584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-nul 4280  df-sn 4585

This theorem is used by:  mo0  49745  mosssn  49746  mo0sn  49747  f1omo  49822  oppcmndclem  49946  indcthing  50389  discthing  50390  termcbasmo  50412  setcsnterm  50419  idfudiag1  50454