MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsval2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsval2lem 27495
Description: Lemma for mulsval2 27496. Change bound variables in one of the cases. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
mulsval2lem {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘Œ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘Œ ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐ด,๐‘    ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘    ๐‘‹,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘Ÿ   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘Œ,๐‘ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘‹(๐‘ ,๐‘ž)

Proof of Theorem mulsval2lem
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2736 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
212rexbidv 3219 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘Œ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘Œ ๐‘ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3 oveq1 7401 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ ยทs ๐ต) = (๐‘Ÿ ยทs ๐ต))
43oveq1d 7409 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)))
5 oveq1 7401 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘ž) = (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ž))
64, 5oveq12d 7412 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘Ÿ โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ž)))
76eqeq2d 2743 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ž))))
8 oveq2 7402 . . . . . . 7 (๐‘ž = ๐‘  โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ž) = (๐ด ยทs ๐‘ ))
98oveq2d 7410 . . . . . 6 (๐‘ž = ๐‘  โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )))
10 oveq2 7402 . . . . . 6 (๐‘ž = ๐‘  โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ž) = (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))
119, 10oveq12d 7412 . . . . 5 (๐‘ž = ๐‘  โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ž)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
1211eqeq2d 2743 . . . 4 (๐‘ž = ๐‘  โ†’ (๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
137, 12cbvrex2vw 3239 . . 3 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘Œ ๐‘ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘Œ ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
142, 13bitrdi 286 . 2 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘Œ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘Œ ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
1514cbvabv 2805 1 {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘Œ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘‹ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘Œ ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  {cab 2709  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7394   +s cadds 27372   -s csubs 27424   ยทs cmuls 27491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-iota 6485  df-fv 6541  df-ov 7397
This theorem is referenced by:  mulsval2  27496  mulscut  27517  mulsunif  27534
  Copyright terms: Public domain W3C validator