MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulscut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulscut 27947
Description: Show the cut properties of surreal multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulscut.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulscut.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
mulscut (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ด,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ด,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ต,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ต,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)

Proof of Theorem mulscut
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘š ๐‘› ๐‘œ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulscut.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 mulscut.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
31, 2mulscutlem 27946 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘“ = (((๐‘” ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs โ„Ž)) -s (๐‘” ยทs โ„Ž))} โˆช {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘— ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘˜)) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘™ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘› โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘™ = (((๐‘š ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘›)) -s (๐‘š ยทs ๐‘›))} โˆช {๐‘œ โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘œ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})))
4 biid 261 . . 3 ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โ†” (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
5 mulsval2lem 27925 . . . . 5 {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = {๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘“ = (((๐‘” ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs โ„Ž)) -s (๐‘” ยทs โ„Ž))}
6 mulsval2lem 27925 . . . . 5 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} = {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘— ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘˜)) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))}
75, 6uneq12i 4161 . . . 4 ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) = ({๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘“ = (((๐‘” ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs โ„Ž)) -s (๐‘” ยทs โ„Ž))} โˆช {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘— ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘˜)) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))})
87breq1i 5155 . . 3 (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†” ({๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘“ = (((๐‘” ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs โ„Ž)) -s (๐‘” ยทs โ„Ž))} โˆช {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘— ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘˜)) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)})
9 mulsval2lem 27925 . . . . 5 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} = {๐‘™ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘› โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘™ = (((๐‘š ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘›)) -s (๐‘š ยทs ๐‘›))}
10 mulsval2lem 27925 . . . . 5 {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} = {๐‘œ โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘œ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}
119, 10uneq12i 4161 . . . 4 ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) = ({๐‘™ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘› โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘™ = (((๐‘š ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘›)) -s (๐‘š ยทs ๐‘›))} โˆช {๐‘œ โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘œ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})
1211breq2i 5156 . . 3 ({(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘™ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘› โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘™ = (((๐‘š ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘›)) -s (๐‘š ยทs ๐‘›))} โˆช {๐‘œ โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘œ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}))
134, 8, 123anbi123i 1154 . 2 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†” ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘“ โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘“ = (((๐‘” ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs โ„Ž)) -s (๐‘” ยทs โ„Ž))} โˆช {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘— ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘˜)) -s (๐‘— ยทs ๐‘˜))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘™ โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘› โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘™ = (((๐‘š ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘›)) -s (๐‘š ยทs ๐‘›))} โˆช {๐‘œ โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘œ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})))
143, 13sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708  โˆƒwrex 3069   โˆช cun 3946  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   No csur 27488   <<s csslt 27628   L cleft 27687   R cright 27688   +s cadds 27791   -s csubs 27848   ยทs cmuls 27921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-nadd 8671  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sle 27593  df-sslt 27629  df-scut 27631  df-0s 27672  df-made 27689  df-old 27690  df-left 27692  df-right 27693  df-norec 27770  df-norec2 27781  df-adds 27792  df-negs 27849  df-subs 27850  df-muls 27922
This theorem is referenced by:  mulscut2  27948
  Copyright terms: Public domain W3C validator