MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsunif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsunif 27954
Description: Surreal multiplication has the uniformity property. That is, any cuts that define ๐ด and ๐ต can be used in the definition of (๐ด ยทs ๐ต). Theorem 3.5 of [Gonshor] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsunif.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
mulsunif.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
mulsunif.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
mulsunif.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
mulsunif (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ด,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ด,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ต,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ต,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ฟ,๐‘Ž,๐‘   ๐ฟ,๐‘,๐‘ก   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐‘€,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘…,๐‘   ๐‘…,๐‘‘   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐‘ฃ,๐‘…   ๐‘†,๐‘   ๐‘†,๐‘   ๐‘†,๐‘Ÿ,๐‘    ๐‘ก,๐‘†,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)   ๐‘…(๐‘ค,๐‘ข,๐‘ก,๐‘ ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘‘)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘,๐‘‘)   ๐‘€(๐‘ข,๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘,๐‘)

Proof of Theorem mulsunif
Dummy variables ๐‘’ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘š ๐‘› ๐‘œ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulsunif.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
2 mulsunif.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
3 mulsunif.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
4 mulsunif.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
51, 2, 3, 4mulsuniflem 27953 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘€ ๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐‘† โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘œ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ ๐‘› = (((๐‘œ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฅ)) -s (๐‘œ ยทs ๐‘ฅ))})))
6 mulsval2lem 27914 . . . 4 {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = {๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘€ ๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))}
7 mulsval2lem 27914 . . . 4 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} = {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐‘† โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}
86, 7uneq12i 4153 . . 3 ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) = ({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘€ ๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐‘† โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))})
9 mulsval2lem 27914 . . . 4 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} = {๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))}
10 mulsval2lem 27914 . . . 4 {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘œ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ ๐‘› = (((๐‘œ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฅ)) -s (๐‘œ ยทs ๐‘ฅ))}
119, 10uneq12i 4153 . . 3 ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) = ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘œ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ ๐‘› = (((๐‘œ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฅ)) -s (๐‘œ ยทs ๐‘ฅ))})
128, 11oveq12i 7413 . 2 (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) = (({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘€ ๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐‘† โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘œ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ ๐‘› = (((๐‘œ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฅ)) -s (๐‘œ ยทs ๐‘ฅ))}))
135, 12eqtr4di 2782 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533  {cab 2701  โˆƒwrex 3062   โˆช cun 3938   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   <<s csslt 27617   |s cscut 27619   +s cadds 27780   -s csubs 27837   ยทs cmuls 27910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27480  df-slt 27481  df-bday 27482  df-sle 27582  df-sslt 27618  df-scut 27620  df-0s 27661  df-made 27678  df-old 27679  df-left 27681  df-right 27682  df-norec 27759  df-norec2 27770  df-adds 27781  df-negs 27838  df-subs 27839  df-muls 27911
This theorem is referenced by:  addsdilem1  27955  mulsasslem1  27967  mulsasslem2  27968  mulsunif2lem  27973  precsexlem11  28019
  Copyright terms: Public domain W3C validator