Theorem neipeltop 23112

Description: Lemma for neiptopreu 23116. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
neiptop.o	⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
neipeltop	⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝐶   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑝,𝑎)   𝑁(𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem neipeltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
2	1	raleqbi1dv 3307	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
3		neiptop.o	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
4	2, 3	elrab2 3632	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
5		0ex 5229	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
6		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
7	5, 6	mpbiri 259	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 ∈ V)
9		elex 3452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
10	9	ralimi 3076	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V)
11		r19.3rzv 4431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V))
12	11	biimparc 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
13	10, 12	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
14	8, 13	pm2.61dane 3021	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
15		elpwg 4532	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
17	16	pm5.32ri 580	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
18	4, 17	bitri 276	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  ‘cfv 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-ss 3900  df-nul 4262  df-pw 4531

This theorem is referenced by:  neiptopuni  23113  neiptoptop  23114  neiptopnei  23115  neiptopreu  23116