Theorem neipeltop 21444

Description: Lemma for neiptopreu 21448. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
neiptop.o	⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
neipeltop	⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝐶   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑝,𝑎)   𝑁(𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem neipeltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2853	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
2	1	raleqbi1dv 3343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
3		neiptop.o	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
4	2, 3	elrab2 3599	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
5		0ex 5069	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
6		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
7	5, 6	mpbiri 250	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 ∈ V)
9		elex 3433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
10	9	ralimi 3110	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V)
11		r19.3rzv 4328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ∈ V ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V))
12	11	biimparc 472	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
13	10, 12	sylan 572	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ V)
14	8, 13	pm2.61dane 3055	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → 𝐶 ∈ V)
15		elpwg 4431	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑋))
17	16	pm5.32ri 568	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))
18	4, 17	bitri 267	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ (𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐶 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑝)))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  {crab 3092  Vcvv 3415   ⊆ wss 3831  ∅c0 4180  𝒫 cpw 4423  ‘cfv 6190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-ext 2750  ax-nul 5068

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rab 3097  df-v 3417  df-dif 3834  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-pw 4425

This theorem is referenced by:  neiptopuni  21445  neiptoptop  21446  neiptopnei  21447  neiptopreu  21448