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Theorem neiptoptop 21313
 Description: Lemma for neiptopreu 21315. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
neiptop.0 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
neiptop.1 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
neiptop.2 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
neiptop.3 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
neiptop.4 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
neiptop.5 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
Assertion
Ref Expression
neiptoptop (𝜑𝐽 ∈ Top)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝   𝐽,𝑎,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑁,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞,𝑏)   𝑁(𝑞,𝑝)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem neiptoptop
Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4683 . . . . . . 7 (𝑒𝐽 𝑒 𝐽)
21adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 𝐽)
3 neiptop.o . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
4 neiptop.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
5 neiptop.1 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
6 neiptop.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
7 neiptop.3 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
8 neiptop.4 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
9 neiptop.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9neiptopuni 21312 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1110adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11sseqtr4d 3867 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝑋)
13 simp-4l 801 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝜑)
1412ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒𝑋)
15 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝 𝑒)
1614, 15sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝𝑋)
1713, 16jca 507 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → (𝜑𝑝𝑋))
18 elssuni 4691 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑒𝑐 𝑒)
1918ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 𝑒)
2017, 19, 143jca 1162 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋))
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
2221sselda 3827 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → 𝑐𝐽)
233neipeltop 21311 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝐽 ↔ (𝑐𝑋 ∧ ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
2423simprbi 492 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐽 → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2625r19.21bi 3141 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2726adantllr 710 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
28 sseq1 3851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 𝑒𝑐 𝑒))
29283anbi2d 1569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋)))
30 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
3129, 30anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))))
3231imbi1d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
3332imbi2d 332 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))) ↔ ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))))
34 ssidd 3849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝑋)
359ralrimiva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
363neipeltop 21311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐽 ↔ (𝑋𝑋 ∧ ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝)))
3734, 35, 36sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐽)
38 pwexg 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
39 rabexg 5038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
413, 40syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
4241adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝐽 ∈ V)
4342, 21ssexd 5032 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 ∈ V)
44 uniexg 7220 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ V → 𝑒 ∈ V)
45 sseq2 3852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑎𝑏𝑎 𝑒))
46 sseq1 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑋 𝑒𝑋))
4745, 463anbi23d 1567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋)))
4847anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝))))
49 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5048, 49imbi12d 336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
5150, 5vtoclg 3482 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒 ∈ V → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5243, 44, 513syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5333, 52chvarv 2416 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5453ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5520, 27, 54mp2and 690 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
56 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑝 𝑒)
57 eluni2 4664 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑒 ↔ ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5856, 57sylib 210 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5955, 58r19.29a 3288 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
6059ralrimiva 3175 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
613neipeltop 21311 . . . . 5 ( 𝑒𝐽 ↔ ( 𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6212, 60, 61sylanbrc 578 . . . 4 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
6362ex 403 . . 3 (𝜑 → (𝑒𝐽 𝑒𝐽))
6463alrimiv 2026 . 2 (𝜑 → ∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽))
65 inss1 4059 . . . . . 6 (𝑒𝑓) ⊆ 𝑒
663neipeltop 21311 . . . . . . . 8 (𝑒𝐽 ↔ (𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6766simplbi 493 . . . . . . 7 (𝑒𝐽𝑒𝑋)
6867ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → 𝑒𝑋)
6965, 68syl5ss 3838 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ⊆ 𝑋)
70 simplll 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝜑)
71 simpllr 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝐽)
7271, 67syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝑋)
73 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝 ∈ (𝑒𝑓))
7465, 73sseldi 3825 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑒)
7572, 74sseldd 3828 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑋)
7670, 75, 6syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
7766simprbi 492 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐽 → ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
7877r19.21bi 3141 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐽𝑝𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
7971, 74, 78syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
80 simplr 785 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓𝐽)
81 inss2 4060 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝑓) ⊆ 𝑓
8281, 73sseldi 3825 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑓)
833neipeltop 21311 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝐽 ↔ (𝑓𝑋 ∧ ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)))
8483simprbi 492 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐽 → ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8584r19.21bi 3141 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐽𝑝𝑓) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8680, 82, 85syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
87 fvex 6450 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑝) ∈ V
88 inelfi 8599 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑝) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
8987, 88mp3an1 1576 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ (𝑁𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
9079, 86, 89syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
9176, 90sseldd 3828 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
9291ralrimiva 3175 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
933neipeltop 21311 . . . . 5 ((𝑒𝑓) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑒𝑓) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝)))
9469, 92, 93sylanbrc 578 . . . 4 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9594ralrimiva 3175 . . 3 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9695ralrimiva 3175 . 2 (𝜑 → ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
97 istopg 21077 . . 3 (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9841, 97syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9964, 96, 98mpbir2and 704 1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111  ∀wal 1654   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121  Vcvv 3414   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4380  ∪ cuni 4660  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  ficfi 8591  Topctop 21075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-fin 8232  df-fi 8592  df-top 21076 This theorem is referenced by:  neiptopnei  21314  neiptopreu  21315
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