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Theorem neiptoptop 23055
Description: Lemma for neiptopreu 23057. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
neiptop.0 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
neiptop.1 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
neiptop.2 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
neiptop.3 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
neiptop.4 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
neiptop.5 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
Assertion
Ref Expression
neiptoptop (𝜑𝐽 ∈ Top)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝   𝐽,𝑎,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑁,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞,𝑏)   𝑁(𝑞,𝑝)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem neiptoptop
Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4920 . . . . . . 7 (𝑒𝐽 𝑒 𝐽)
21adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 𝐽)
3 neiptop.o . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
4 neiptop.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
5 neiptop.1 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
6 neiptop.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
7 neiptop.3 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
8 neiptop.4 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
9 neiptop.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9neiptopuni 23054 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11sseqtrrd 4023 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝑋)
13 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝜑)
1412ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒𝑋)
15 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝 𝑒)
1614, 15sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝𝑋)
1713, 16jca 510 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → (𝜑𝑝𝑋))
18 elssuni 4944 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑒𝑐 𝑒)
1918ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 𝑒)
2017, 19, 143jca 1125 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋))
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
2221sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → 𝑐𝐽)
233neipeltop 23053 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝐽 ↔ (𝑐𝑋 ∧ ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
2423simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐽 → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2625r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2726adantllr 717 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
28 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 𝑒𝑐 𝑒))
29283anbi2d 1437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋)))
30 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
3129, 30anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))))
3231imbi1d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
3332imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))) ↔ ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))))
34 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝑋)
359ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
363neipeltop 23053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐽 ↔ (𝑋𝑋 ∧ ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝)))
3734, 35, 36sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐽)
38 pwexg 5382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
39 rabexg 5337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
413, 40eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝐽 ∈ V)
4342, 21ssexd 5328 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 ∈ V)
44 uniexg 7751 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ V → 𝑒 ∈ V)
45 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑎𝑏𝑎 𝑒))
46 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑋 𝑒𝑋))
4745, 463anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋)))
4847anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝))))
49 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5048, 49imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
5150, 5vtoclg 3542 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒 ∈ V → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5243, 44, 513syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5333, 52chvarvv 1994 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5453ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5520, 27, 54mp2and 697 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
56 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑝 𝑒)
57 eluni2 4916 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑒 ↔ ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5856, 57sylib 217 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5955, 58r19.29a 3159 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
6059ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
613neipeltop 23053 . . . . 5 ( 𝑒𝐽 ↔ ( 𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6212, 60, 61sylanbrc 581 . . . 4 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
6362ex 411 . . 3 (𝜑 → (𝑒𝐽 𝑒𝐽))
6463alrimiv 1922 . 2 (𝜑 → ∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽))
65 inss1 4231 . . . . . 6 (𝑒𝑓) ⊆ 𝑒
663neipeltop 23053 . . . . . . . 8 (𝑒𝐽 ↔ (𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6766simplbi 496 . . . . . . 7 (𝑒𝐽𝑒𝑋)
6867ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → 𝑒𝑋)
6965, 68sstrid 3993 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ⊆ 𝑋)
70 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝜑)
71 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝐽)
7271, 67syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝑋)
73 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝 ∈ (𝑒𝑓))
7473elin1d 4200 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑒)
7572, 74sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑋)
7670, 75, 6syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
77 fvex 6915 . . . . . . . 8 (𝑁𝑝) ∈ V
7866simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐽 → ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
7978r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐽𝑝𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
8071, 74, 79syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
81 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓𝐽)
8273elin2d 4201 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑓)
833neipeltop 23053 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝐽 ↔ (𝑓𝑋 ∧ ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)))
8483simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐽 → ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8584r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐽𝑝𝑓) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8681, 82, 85syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
87 inelfi 9449 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑝) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
8877, 80, 86, 87mp3an2i 1462 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
8976, 88sseldd 3983 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
9089ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
913neipeltop 23053 . . . . 5 ((𝑒𝑓) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑒𝑓) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝)))
9269, 90, 91sylanbrc 581 . . . 4 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9392ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9493ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
95 istopg 22817 . . 3 (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9641, 95syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9764, 94, 96mpbir2and 711 1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  𝒫 cpw 4606   cuni 4912  wf 6549  cfv 6553  ficfi 9441  Topctop 22815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-top 22816
This theorem is referenced by:  neiptopnei  23056  neiptopreu  23057
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