Theorem neiptoptop 23288

Description: Lemma for neiptopreu 23290. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
neiptop.0	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
neiptop.1	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝))
neiptop.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝))
neiptop.3	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑎)
neiptop.4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞))
neiptop.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
neiptoptop	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝   𝐽,𝑎,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑁,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞,𝑏)   𝑁(𝑞,𝑝)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem neiptoptop

Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑒 ⊆ ∪ 𝐽)
3		neiptop.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
4		neiptop.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
5		neiptop.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝))
6		neiptop.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝))
7		neiptop.3	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑎)
8		neiptop.4	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞))
9		neiptop.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	neiptopuni 23287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	sseqtrrd 3974	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)
13		simp-4l 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝜑)
14	12	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)
15		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑝 ∈ ∪ 𝑒)
16	14, 15	sseldd 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑝 ∈ 𝑋)
17	13, 16	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → (𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋))
18		elssuni 4904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑒 → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒)
19	18	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒)
20	17, 19, 14	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋))
21		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝑒 ⊆ 𝐽)
22	21	sselda 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) → 𝑐 ∈ 𝐽)
23	3	neipeltop 23286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐽 ↔ (𝑐 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑐 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))
24	23	simprbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑐 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) → ∀𝑝 ∈ 𝑐 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
26	25	r19.21bi 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
27	26	adantllr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
28		sseq1 3962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ↔ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒))
29	28	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)))
30		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))
31	29, 30	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))))
32	31	imbi1d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))))
33	32	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))))
34		ssidd 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
35	9	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝))
36	3	neipeltop 23286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝)))
37	34, 35, 36	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
38		pwexg 5349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
39		rabexg 5308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)} ∈ V)
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)} ∈ V)
41	3, 40	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
43	42, 21	ssexd 5295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝑒 ∈ V)
44		uniexg 7738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ V → ∪ 𝑒 ∈ V)
45		sseq2 3963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒))
46		sseq1 3962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (𝑏 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋))
47	45, 46	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)))
48	47	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝))))
49		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
50	48, 49	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))))
51	50, 5	vtoclg 3522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ V → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
52	43, 44, 51	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
53	33, 52	chvarvv 2019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
54	53	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
55	20, 27, 54	mp2and 711	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
56		eluni2 4876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑒 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑒 𝑝 ∈ 𝑐)
57	56	bilani 509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑒 𝑝 ∈ 𝑐)
58	55, 57	r19.29a 3173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
59	58	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑒∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
60	3	neipeltop 23286	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝐽 ↔ (∪ 𝑒 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑒∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
61	12, 59, 60	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽)
62	61	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽))
63	62	alrimiv 1957	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒(𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽))
64		inss1 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑒
65	3	neipeltop 23286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐽 ↔ (𝑒 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
66	65	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐽 → 𝑒 ⊆ 𝑋)
67	66	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → 𝑒 ⊆ 𝑋)
68	64, 67	sstrid 3948	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → (𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑋)
69		simplll 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝜑)
70		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑒 ∈ 𝐽)
71	70, 66	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑒 ⊆ 𝑋)
72		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓))
73	72	elin1d 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ 𝑒)
74	71, 73	sseldd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ 𝑋)
75	69, 74, 6	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝))
76		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘𝑝) ∈ V
77	65	simprbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
78	77	r19.21bi 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑝 ∈ 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
79	70, 73, 78	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
80		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐽)
81	72	elin2d 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ 𝑓)
82	3	neipeltop 23286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐽 ↔ (𝑓 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑓 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝)))
83	82	simprbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑓 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝))
84	83	r19.21bi 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐽 ∧ 𝑝 ∈ 𝑓) → 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝))
85	80, 81, 84	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝))
86		inelfi 9374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝑝) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (fi‘(𝑁‘𝑝)))
87	76, 79, 85, 86	mp3an2i 1495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (fi‘(𝑁‘𝑝)))
88	75, 87	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (𝑁‘𝑝))
89	88	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → ∀𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)(𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (𝑁‘𝑝))
90	3	neipeltop 23286	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)(𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (𝑁‘𝑝)))
91	68, 89, 90	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)
92	91	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) → ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)
93	92	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝐽 ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)
94		istopg 23052	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐽 ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)))
95	41, 94	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐽 ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)))
96	63, 93, 95	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  ∪ cuni 4872  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ficfi 9366  Topctop 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-top 23051

This theorem is referenced by:  neiptopnei  23289  neiptopreu  23290