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Theorem neiptoptop 21731
Description: Lemma for neiptopreu 21733. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neiptop.o 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
neiptop.0 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
neiptop.1 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
neiptop.2 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
neiptop.3 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
neiptop.4 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
neiptop.5 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
Assertion
Ref Expression
neiptoptop (𝜑𝐽 ∈ Top)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝   𝐽,𝑎,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑁,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞,𝑏)   𝑁(𝑞,𝑝)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem neiptoptop
Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4851 . . . . . . 7 (𝑒𝐽 𝑒 𝐽)
21adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 𝐽)
3 neiptop.o . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)}
4 neiptop.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
5 neiptop.1 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝))
6 neiptop.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
7 neiptop.3 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑝𝑎)
8 neiptop.4 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁𝑝)∀𝑞𝑏 𝑎 ∈ (𝑁𝑞))
9 neiptop.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9neiptopuni 21730 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1110adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11sseqtrrd 4006 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝑋)
13 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝜑)
1412ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒𝑋)
15 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝 𝑒)
1614, 15sseldd 3966 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑝𝑋)
1713, 16jca 514 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → (𝜑𝑝𝑋))
18 elssuni 4859 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑒𝑐 𝑒)
1918ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 𝑒)
2017, 19, 143jca 1122 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋))
21 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
2221sselda 3965 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → 𝑐𝐽)
233neipeltop 21729 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝐽 ↔ (𝑐𝑋 ∧ ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
2423simprbi 499 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐽 → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) → ∀𝑝𝑐 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2625r19.21bi 3206 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
2726adantllr 717 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))
28 sseq1 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 𝑒𝑐 𝑒))
29283anbi2d 1434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋)))
30 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)))
3129, 30anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝))))
3231imbi1d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
3332imbi2d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))) ↔ ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))))
34 ssidd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝑋)
359ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝))
363neipeltop 21729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐽 ↔ (𝑋𝑋 ∧ ∀𝑝𝑋 𝑋 ∈ (𝑁𝑝)))
3734, 35, 36sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐽)
38 pwexg 5270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
39 rabexg 5225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝𝑎 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)} ∈ V)
413, 40eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
4241adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝐽 ∈ V)
4342, 21ssexd 5219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒 ∈ V)
44 uniexg 7458 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ V → 𝑒 ∈ V)
45 sseq2 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑎𝑏𝑎 𝑒))
46 sseq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑋 𝑒𝑋))
4745, 463anbi23d 1432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ↔ ((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋)))
4847anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ (((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝))))
49 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ (𝑁𝑝) ↔ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5048, 49imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎𝑏𝑏𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁𝑝)) ↔ ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))))
5150, 5vtoclg 3566 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒 ∈ V → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5243, 44, 513syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑎 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5333, 52chvarvv 1998 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒𝐽) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5453ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → ((((𝜑𝑝𝑋) ∧ 𝑐 𝑒 𝑒𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁𝑝)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
5520, 27, 54mp2and 697 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) ∧ 𝑐𝑒) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
56 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑝 𝑒)
57 eluni2 4834 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑒 ↔ ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5856, 57sylib 220 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → ∃𝑐𝑒 𝑝𝑐)
5955, 58r19.29a 3287 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑝 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
6059ralrimiva 3180 . . . . 5 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
613neipeltop 21729 . . . . 5 ( 𝑒𝐽 ↔ ( 𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6212, 60, 61sylanbrc 585 . . . 4 ((𝜑𝑒𝐽) → 𝑒𝐽)
6362ex 415 . . 3 (𝜑 → (𝑒𝐽 𝑒𝐽))
6463alrimiv 1921 . 2 (𝜑 → ∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽))
65 inss1 4203 . . . . . 6 (𝑒𝑓) ⊆ 𝑒
663neipeltop 21729 . . . . . . . 8 (𝑒𝐽 ↔ (𝑒𝑋 ∧ ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝)))
6766simplbi 500 . . . . . . 7 (𝑒𝐽𝑒𝑋)
6867ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → 𝑒𝑋)
6965, 68sstrid 3976 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ⊆ 𝑋)
70 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝜑)
71 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝐽)
7271, 67syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒𝑋)
73 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝 ∈ (𝑒𝑓))
7473elin1d 4173 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑒)
7572, 74sseldd 3966 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑋)
7670, 75, 6syl2anc 586 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (fi‘(𝑁𝑝)) ⊆ (𝑁𝑝))
77 fvex 6676 . . . . . . . 8 (𝑁𝑝) ∈ V
7866simprbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐽 → ∀𝑝𝑒 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
7978r19.21bi 3206 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐽𝑝𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
8071, 74, 79syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑒 ∈ (𝑁𝑝))
81 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓𝐽)
8273elin2d 4174 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑝𝑓)
833neipeltop 21729 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝐽 ↔ (𝑓𝑋 ∧ ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)))
8483simprbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐽 → ∀𝑝𝑓 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8584r19.21bi 3206 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐽𝑝𝑓) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
8681, 82, 85syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑁𝑝))
87 inelfi 8874 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑝) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ (𝑁𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁𝑝)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
8877, 80, 86, 87mp3an2i 1459 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (fi‘(𝑁𝑝)))
8976, 88sseldd 3966 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒𝑓)) → (𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
9089ralrimiva 3180 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝))
913neipeltop 21729 . . . . 5 ((𝑒𝑓) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑒𝑓) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑒𝑓)(𝑒𝑓) ∈ (𝑁𝑝)))
9269, 90, 91sylanbrc 585 . . . 4 (((𝜑𝑒𝐽) ∧ 𝑓𝐽) → (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9392ralrimiva 3180 . . 3 ((𝜑𝑒𝐽) → ∀𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
9493ralrimiva 3180 . 2 (𝜑 → ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)
95 istopg 21495 . . 3 (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9641, 95syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒𝐽 𝑒𝐽) ∧ ∀𝑒𝐽𝑓𝐽 (𝑒𝑓) ∈ 𝐽)))
9764, 94, 96mpbir2and 711 1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081  wal 1528   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  {crab 3140  Vcvv 3493  cin 3933  wss 3934  𝒫 cpw 4537   cuni 4830  wf 6344  cfv 6348  ficfi 8866  Topctop 21493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-fin 8505  df-fi 8867  df-top 21494
This theorem is referenced by:  neiptopnei  21732  neiptopreu  21733
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