Theorem 0nei 22991

Description: The empty set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0nei	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘∅))

Proof of Theorem 0nei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22767	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		opnneiid 22989	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘∅) ↔ ∅ ∈ 𝐽))
3	1, 2	mpbird 257	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ ((nei‘𝐽)‘∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  Topctop 22756  neicnei 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-top 22757  df-nei 22961

This theorem is referenced by:  utop2nei  24114