![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 229 of 491) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30946) |
![]() (30947-32469) |
![]() (32470-49035) |
Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpwlem 22801 | Lemma for pmatcollpw 22802. (Contributed by AV, 26-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑏)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑛 ↑ 𝑋)) = (𝑎((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)))𝑏)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw 22802* | Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 26-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpwfi 22803* | Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw3lem 22804* | Lemma for pmatcollpw3 22805 and pmatcollpw3fi 22806: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 8-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) → ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m 𝐼)𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw3 22805* | Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m ℕ0)𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw3fi 22806* | Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw3fi1lem1 22807* | Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 22809. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) & ⊢ 0 = (0g‘𝐴) & ⊢ 𝐻 = (𝑙 ∈ (0...1) ↦ if(𝑙 = 0, (𝐺‘0), 0 )) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐺 ∈ (𝐷 ↑m {0}) ∧ 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝐺‘𝑛)))))) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...1) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝐻‘𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw3fi1lem2 22808* | Lemma 2 for pmatcollpw3fi1 22809. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpw3fi1 22809* | Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of (at least two) products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpwscmatlem1 22810 | Lemma 1 for pmatcollpwscmat 22812. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝐶) & ⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 ) ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿)( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝐿)), (0g‘𝑃))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpwscmatlem2 22811 | Lemma 2 for pmatcollpwscmat 22812. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝐶) & ⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 ) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝐿)) = ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝐿)) ∗ 1 )) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmatcollpwscmat 22812* | Write a scalar matrix over polynomials (over a commutative ring) as a sum of the product of variable powers and constant scalar matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝐶) & ⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 ) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The main result of this section is Theorem pmmpric 22844, which shows that the
ring of polynomial matrices and the ring of polynomials having matrices as
coefficients (called "polynomials over matrices" in the following) are
isomorphic:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cpm2mp 22813 | Extend class notation with the transformation of a polynomial matrix into a polynomial over matrices. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class pMatToMatPoly | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-pm2mp 22814* | Transformation of a polynomial matrix (over a ring) into a polynomial over matrices (over the same ring). (Contributed by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ pMatToMatPoly = (𝑛 ∈ Fin, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑚 ∈ (Base‘(𝑛 Mat (Poly1‘𝑟))) ↦ ⦋(𝑛 Mat 𝑟) / 𝑎⦌⦋(Poly1‘𝑎) / 𝑞⦌(𝑞 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 decompPMat 𝑘)( ·𝑠 ‘𝑞)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑞))(var1‘𝑎))))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpf1lem 22815* | Lemma for pm2mpf1 22820. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = (𝑈 decompPMat 𝐾)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpval 22816* | Value of the transformation of a polynomial matrix into a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑇 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpfval 22817* | A polynomial matrix transformed into a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 4-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpcl 22818 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices maps polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐿) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpf 22819 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpf1 22820 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐿) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpcoe1 22821 | A coefficient of the polynomial over matrices which is the result of the transformation of a polynomial matrix is the matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrix. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = (𝑀 decompPMat 𝐾)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | idpm2idmp 22822 | The transformation of the identity polynomial matrix into polynomials over matrices results in the identity of the polynomials over matrices. (Contributed by AV, 18-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mptcoe1matfsupp 22823* | The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mply1topmatcllem 22824* | Lemma for mply1topmatcl 22826. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mply1topmatval 22825* | A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix. 𝐼 is the inverse function of the transformation 𝑇 of polynomial matrices into polynomials over matrices: (𝑇‘(𝐼‘𝑂)) = 𝑂) (see mp2pm2mp 22832). (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mply1topmatcl 22826* | A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) ∈ 𝐵) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mp2pm2mplem1 22827* | Lemma 1 for mp2pm2mp 22832. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mp2pm2mplem2 22828* | Lemma 2 for mp2pm2mp 22832. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mp2pm2mplem3 22829* | Lemma 3 for mp2pm2mp 22832. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mp2pm2mplem4 22830* | Lemma 4 for mp2pm2mp 22832. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((coe1‘𝑂)‘𝐾)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mp2pm2mplem5 22831* | Lemma 5 for mp2pm2mp 22832. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | mp2pm2mp 22832* | A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix transformed back into the polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(𝐼‘𝑂)) = 𝑂) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpghmlem2 22833* | Lemma 2 for pm2mpghm 22837. (Contributed by AV, 15-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpghmlem1 22834 | Lemma 1 for pm2mpghm . (Contributed by AV, 15-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝐾) ∗ (𝐾 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpfo 22835 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpf1o 22836 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1-onto→𝐿) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpghm 22837 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpgrpiso 22838 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group isomorphism. (Contributed by AV, 17-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpIso 𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpmhmlem1 22839* | Lemma 1 for pm2mpmhm 22841. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑙) ↦ ((𝑥 decompPMat 𝑘)(.r‘𝐴)(𝑦 decompPMat (𝑙 − 𝑘))))) ∗ (𝑙 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpmhmlem2 22840* | Lemma 2 for pm2mpmhm 22841. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mpmhm 22841 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mprhm 22842 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mprngiso 22843 | The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a ring isomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingIso 𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pmmpric 22844 | The ring of polynomial matrices over a ring is isomorphic to the ring of polynomials over matrices of the same dimension over the same ring. (Contributed by AV, 30-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ≃𝑟 𝑄) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | monmat2matmon 22845 | The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pm2mp 22846* | The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
According to Wikipedia ("Characteristic polynomial", 31-Jul-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial): "In linear algebra, the characteristic polynomial of a square matrix is a polynomial which is invariant under matrix similarity and has the eigenvalues as roots. It has the determinant and the trace of the matrix as coefficients.". Based on the definition of the characteristic polynomial of a square matrix (df-chpmat 22848) the eigenvalues and corresponding eigenvectors can be defined. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The characteristic polynomial of a matrix 𝐴 is the determinant of the characteristic matrix of 𝐴: (𝑡𝐼 − 𝐴). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | cchpmat 22847 | Extend class notation with the characteristic polynomial. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class CharPlyMat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-chpmat 22848* | Define the characteristic polynomial of a square matrix. According to Wikipedia ("Characteristic polynomial", 31-Jul-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial): "The characteristic polynomial of [an n x n matrix] A, denoted by pA(t), is the polynomial defined by pA ( t ) = det ( t I - A ) where I denotes the n-by-n identity matrix.". In addition, however, the underlying ring must be commutative, see definition in [Lang], p. 561: " Let k be a commutative ring ... Let M be any n x n matrix in k ... We define the characteristic polynomial PM(t) to be the determinant det ( t In - M ) where In is the unit n x n matrix." To be more precise, the matrices A and I on the right hand side are matrices with coefficients of a polynomial ring. Therefore, the original matrix A over a given commutative ring must be transformed into corresponding matrices over the polynomial ring over the given ring. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ CharPlyMat = (𝑛 ∈ Fin, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑚 ∈ (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) ↦ ((𝑛 maDet (Poly1‘𝑟))‘(((var1‘𝑟)( ·𝑠 ‘(𝑛 Mat (Poly1‘𝑟)))(1r‘(𝑛 Mat (Poly1‘𝑟))))(-g‘(𝑛 Mat (Poly1‘𝑟)))((𝑛 matToPolyMat 𝑟)‘𝑚))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chmatcl 22849 | Closure of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (Base‘𝑌)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chmatval 22850 | The entries of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 10-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ ∼ = (-g‘𝑃) & ⊢ 0 = (0g‘𝑃) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmatfval 22851* | Value of the characteristic polynomial function. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝐷‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑚))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmatval 22852 | The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with a determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝐷‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmatply1 22853 | The characteristic polynomial of a (square) matrix over a commutative ring is a polynomial, see also the following remark in [Lang], p. 561: "[the characteristic polynomial] is an element of k[t]". (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ 𝐸) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmatval2 22854* | The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁) & ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺) & ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃) & ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁) & ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥))))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmat0d 22855 | The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅) ⇒ ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmat1dlem 22856 | Lemma for chpmat1d 22857. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpmat1d 22857 | The characteristic polynomial of a matrix with dimension 1. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpdmatlem0 22858 | Lemma 0 for chpdmat 22862. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 0 = (0g‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpdmatlem1 22859 | Lemma 1 for chpdmat 22862. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 0 = (0g‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑄)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpdmatlem2 22860 | Lemma 2 for chpdmat 22862. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 0 = (0g‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpdmatlem3 22861 | Lemma 3 for chpdmat 22862. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 0 = (0g‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝑄) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpdmat 22862* | The characteristic polynomial of a diagonal matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 0 = (0g‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐶‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 − (𝑆‘(𝑘𝑀𝑘)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpscmat 22863* | The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ ↑ = (.g‘𝐺) & ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = 𝐸)) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘𝐸)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpscmat0 22864* | The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed with its diagonal element. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ ↑ = (.g‘𝐺) & ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpscmatgsumbin 22865* | The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ ↑ = (.g‘𝐺) & ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃) & ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻) & ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpscmatgsummon 22866* | The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ ↑ = (.g‘𝐺) & ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ − = (-g‘𝑃) & ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃) & ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻) & ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝑍 = (.g‘𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chp0mat 22867 | The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ ↑ = (.g‘𝐺) & ⊢ 0 = (0g‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chpidmat 22868 | The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃) & ⊢ ↑ = (.g‘𝐺) & ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴) & ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 1 = (1r‘𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘𝐼) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘ 1 )))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chmaidscmat 22869 | The characteristic polynomial of a matrix multiplied with the identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑌) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐶‘𝑀) · 1 ) ∈ 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In this subsection the function 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) is discussed. This function is involved in the representation of the product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct as an infinite sum, see cpmadugsum 22899. Therefore, this function is called "characteristic factor function" (in short "chfacf") in the following. It plays an important role in the proof of the Cayley-Hamilton theorem, see cayhamlem1 22887, cayhamlem3 22908 and cayhamlem4 22909. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fvmptnn04if 22870* | The function values of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵)))) & ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ) & ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0) & ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑌 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴) & ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑌 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑌 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑌 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷) ⇒ ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑁) = 𝑌) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fvmptnn04ifa 22871* | The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵)))) & ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ) & ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0) ⇒ ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fvmptnn04ifb 22872* | The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵)))) & ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ) & ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0) ⇒ ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fvmptnn04ifc 22873* | The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the third case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵)))) & ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ) & ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0) ⇒ ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fvmptnn04ifd 22874* | The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the forth case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵)))) & ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ) & ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0) ⇒ ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfisf 22875* | The "characteristic factor function" is a function from the nonnegative integers to polynomial matrices. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfisfcpmat 22876* | The "characteristic factor function" is a function from the nonnegative integers to constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacffsupp 22877* | The "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺 finSupp (0g‘𝑌)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfscmulcl 22878* | Closure of a scaled value of the "characteristic factor function". (Contributed by AV, 9-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfscmul0 22879* | A scaled value of the "characteristic factor function" is zero almost always. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfscmulfsupp 22880* | A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfscmulgsum 22881* | Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" scaled by a polynomial. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ + = (+g‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfpmmulcl 22882* | Closure of the value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfpmmul0 22883* | The value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is zero almost always. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfpmmulfsupp 22884* | A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfpmmulgsum 22885* | Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) & ⊢ + = (+g‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfpmmulgsum2 22886* | Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) & ⊢ + = (+g‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − (((𝑖 + 1) ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayhamlem1 22887* | Lemma 1 for cayleyhamilton 22911. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)))) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In this section, a direct algebraic proof for the Cayley-Hamilton theorem is
provided, according to Wikipedia ("Cayley-Hamilton theorem", 09-Nov-2019,
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem, section
"A direct algebraic proof" (this approach is also used for proving Lemma 1.9 in
[Hefferon] p. 427):
Using this notation, we have:
Following the proof shown in Wikipedia, the following steps are performed:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadurid 22888 | The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 22665) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 )) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidgsum 22889* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidgsumm2pm 22890* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum with a matrix to polynomial matrix transformation. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmatlem1 22891* | Lemma 1 for cpmidpmat 22894. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ⇒ ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmatlem2 22892* | Lemma 2 for cpmidpmat 22894. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmatlem3 22893* | Lemma 3 for cpmidpmat 22894. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmat 22894* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as polynomial over the ring of matrices. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑍 = (var1‘𝐴) & ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumlemB 22895* | Lemma B for cpmadugsum 22899. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumlemC 22896* | Lemma C for cpmadugsum 22899. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumlemF 22897* | Lemma F for cpmadugsum 22899. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumfi 22898* | The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as finite sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsum 22899* | The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidgsum2 22900* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as another group sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |