Theorem sltssn 27766

Description: Surreal set less-than of two singletons. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltssn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltssn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssn	⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s {𝐵})

Proof of Theorem sltssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssn.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		sltssn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltssn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	2, 3	sltssnb 27765	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} <<s {𝐵} ↔ 𝐴 <s 𝐵))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  {csn 4580   class class class wbr 5098   No csur 27607   <s clts 27608   <<s cslts 27753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-slts 27754

This theorem is referenced by:  cutneg  27812  zcuts  28403  twocut  28419  nohalf  28420  pw2recs  28434  halfcut  28454  addhalfcut  28455  pw2cut2  28458  bdaypw2n0bndlem  28459  bdayfinbndlem1  28463