Theorem sltssn 27776

Description: Surreal set less-than of two singletons. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltssn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltssn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssn	⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s {𝐵})

Proof of Theorem sltssn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssn.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		sltssn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltssn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	2, 3	sltssnb 27775	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} <<s {𝐵} ↔ 𝐴 <s 𝐵))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {csn 4568   class class class wbr 5086   No csur 27617   <s clts 27618   <<s cslts 27763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-slts 27764

This theorem is referenced by:  cutneg  27822  zcuts  28413  twocut  28429  nohalf  28430  pw2recs  28444  halfcut  28464  addhalfcut  28465  pw2cut2  28468  bdaypw2n0bndlem  28469  bdayfinbndlem1  28473